Teorema de transporte de Reynolds en volúmenes de control móviles

Ecuación General Universal del TTR

Para comprender las variaciones, primero debemos establecer la forma más general y rigurosa del Teorema de Transporte de Reynolds, la cual contempla que la superficie de control pueda moverse.

Sea $B$ una propiedad extensiva (masa, cantidad de movimiento, energía) y $b = B/m$ su propiedad intensiva. La ecuación universal es:

$$ \frac{dB_{sis}}{dt} = \frac{d}{dt} \int_{VC(t)} \rho b dV + \int_{SC(t)} \rho b (\vec{V} - \vec{V}_{sc}) \cdot \vec{n} dA $$

Donde:

• $\vec{V}$ = Velocidad absoluta del fluido (medida desde un sistema de referencia inercial fijo).
• $\vec{V}_{sc}$ = Velocidad local de la Superficie de Control (la frontera).
• $\vec{W} = (\vec{V} - \vec{V}_{sc})$ = Velocidad relativa del fluido respecto a la superficie de control. Este es el término que define si el fluido realmente cruza la frontera.

1. Volumen de Control Fijo (Rígido y Estático)

Es el caso más común en hidráulica clásica (ej. tuberías, válvulas, canales estacionarios).

Concepto y Consideraciones:

• El Volumen de Control (VC) está rígidamente anclado al espacio. No se traslada ni rota.
• Sus fronteras no se deforman; por lo tanto, el volumen total es constante en el tiempo.
• La velocidad de la superficie de control es nula en todas partes: $\vec{V}_{sc} = 0$.

Ecuación Reducida:

La velocidad relativa $\vec{W}$ se vuelve igual a la velocidad absoluta $\vec{V}$. Además, la derivada temporal puede entrar en la integral de volumen porque los límites de integración no cambian con el tiempo.

$$ \frac{dB_{sis}}{dt} = \int_{VC} \frac{\partial}{\partial t} (\rho b) dV + \int_{SC} \rho b (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Demostración - Conservación de masa:

Si aplicamos esto a la masa ($b=1$) para un flujo estacionario ($\partial / \partial t = 0$), obtenemos la clásica ecuación de continuidad geométrica:

$$ \int_{SC} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA = 0 \implies \sum \dot{m}_{entrada} = \sum \dot{m}_{salida} $$

2. Volumen de Control Móvil (Traslación Uniforme)

Este enfoque es vital para analizar barcos en movimiento, aviones a velocidad crucero, o álabes de turbinas estáticas golpeados por un chorro.

Concepto y Consideraciones:

• El VC mantiene su tamaño y forma (es rígido), pero se traslada a una velocidad constante $\vec{V}_{vc}$ respecto a un marco de referencia inercial fijo.
• En este caso, toda la superficie de control se mueve a la misma velocidad: $\vec{V}_{sc} = \vec{V}_{vc}$.
• La velocidad que importa para el cálculo de los flujos que cruzan las fronteras es la velocidad relativa: $\vec{W} = \vec{V} - \vec{V}_{vc}$.

Ecuación Reducida:

Dado que el volumen no se deforma, la derivada puede entrar en la primera integral.

$$ \frac{dB_{sis}}{dt} = \int_{VC} \frac{\partial}{\partial t} (\rho b) dV + \int_{SC} \rho b (\vec{W} \cdot \vec{n}) dA $$

Demostración - Fuerza sobre un álabe móvil:

Imagina un chorro de agua que sale de una tobera a velocidad absoluta $\vec{V}_j$ y golpea un carrito que se aleja a velocidad $\vec{V}_c$.

• Si $\vec{V}_c = \vec{V}_j$, el chorro nunca alcanza el carrito. La velocidad relativa es cero y no hay flujo cruzando el VC del carrito.
• La masa de fluido que entra al VC por unidad de tiempo no es $\rho A V_j$, sino $\rho A (V_j - V_c)$.
• La fuerza de empuje transferida al carrito depende del cambio de cantidad de movimiento basado estrictamente en esta velocidad relativa.

3. Volumen de Control que se Expande o Deforma

Este es el nivel analítico más complejo. Se utiliza en el estudio de jeringas, inflado de globos terráqueos, cilindros con pistones en motores, y el vaciado de tanques donde la superficie libre del líquido desciende.

Concepto y Consideraciones:

• El volumen del espacio de estudio $V(t)$ es una función del tiempo.
• Las fronteras de la Superficie de Control (SC) se mueven a diferentes velocidades en diferentes puntos. Por lo tanto, $\vec{V}_{sc}$ ya no es una constante, sino un campo vectorial local $\vec{V}_{sc}(x,y,z,t)$.
• Regla de Oro: La derivada temporal $\frac{d}{dt}$ no puede introducirse directamente dentro de la integral de volumen (Regla de Leibniz), porque los límites de la integral están cambiando.

Ecuación Reducida:

Debemos usar la forma universal intacta:

$$ \frac{dB_{sis}}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \int_{VC(t)} \rho b dV \right] + \int_{SC(t)} \rho b (\vec{V} - \vec{V}_{sc}) \cdot \vec{n} dA $$

Demostración - Análisis de una Jeringa (Vaciado):

Imagina una jeringa llena de agua de sección $A_p$. El émbolo se empuja hacia adentro a una velocidad $V_p$. La aguja tiene un área $A_a$ por donde sale el agua a velocidad $V_a$.

Si definimos el VC de modo que envuelva toda el agua contenida hasta la salida de la aguja:

1. Frontera del émbolo: Se mueve a velocidad $V_p$. Como el émbolo empuja el agua, la velocidad del fluido pegado a él es la misma. Por lo tanto, $(\vec{V} - \vec{V}_{sc}) = (V_p - V_p) = 0$. ¡Ningún fluido cruza la frontera del émbolo!
2. Frontera de salida (aguja): La aguja es estática ($\vec{V}_{sc} = 0$). El fluido sale a velocidad $V_a$. El flujo neto es positivo.
3. Término de acumulación: El volumen total está disminuyendo, por lo que $\frac{d}{dt} \int \rho dV$ será un valor negativo.

Aplicando la ecuación de continuidad ($B = m$):

$$ 0 = \frac{d}{dt} (\rho V_{volumen\_interno}) + \int_{salida} \rho (\vec{V}_a - 0) \cdot \vec{n} dA $$

$$ 0 = \rho \frac{d}{dt} (A_p \cdot L(t)) + \rho A_a V_a $$

Como la longitud del fluido $L(t)$ disminuye a razón de la velocidad del pistón, $\frac{dL}{dt} = -V_p$.

$$ 0 = -\rho A_p V_p + \rho A_a V_a \implies A_p V_p = A_a V_a $$

Aunque el VC se estaba deformando, al usar rigurosamente la velocidad relativa y la tasa de cambio de volumen, demostramos que la relación geométrica sigue obedeciendo la ecuación de continuidad macroscópica.

Diagrama Interactivo: Volumen de Control Móvil

Para visualizar cómo afecta la velocidad de un Volumen de Control a las fuerzas generadas por un fluido, he creado este simulador. En él, un chorro estático impacta contra una placa montada en un carro móvil. Podrás observar por qué la velocidad relativa $\vec{W}$ es el núcleo de este análisis.