PRINCIPIO DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ANÁLISIS DE IMPACTOS

1. Impulso de una Fuerza

Concepto:

El impulso es una magnitud vectorial que mide el efecto acumulado de una fuerza actuando durante un intervalo de tiempo. Físicamente, representa el "empuje" total que recibe un cuerpo.

Fórmula:

El impulso lineal ($\vec{I}$) de una fuerza $\vec{F}$ durante el intervalo de tiempo desde $t_1$ hasta $t_2$ se define como la integral definida de la fuerza respecto al tiempo:

$$ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \, dt $$

(Si la fuerza es constante, la ecuación se simplifica a $\vec{I} = \vec{F} \Delta t$. En unidades del SI, se mide en $N\cdot s$).

2. Principio del Impulso y Cantidad de Movimiento (Sistema de Partículas)

Demostración Analítica:

Partimos de la Segunda Ley de Newton expresada en términos de cantidad de movimiento ($\vec{L} = m\vec{v}$):

$$ \sum \vec{F} = \frac{d\vec{L}}{dt} $$

Multiplicamos ambos lados por el diferencial de tiempo $dt$ e integramos desde el estado 1 hasta el estado 2:

$$ \int_{t_1}^{t_2} \sum \vec{F} \, dt = \int_{\vec{L}_1}^{\vec{L}_2} d\vec{L} $$

La integral de la izquierda es, por definición, la suma de todos los impulsos externos. La integral de la derecha es el cambio en la cantidad de movimiento:

$$ \sum \vec{I}_{ext} = \vec{L}_2 - \vec{L}_1 $$

Reorganizando, obtenemos la Ecuación Fundamental:

$$ \vec{L}_1 + \sum \vec{I}_{ext} = \vec{L}_2 $$

Para un sistema de partículas, esto significa que la cantidad de movimiento total inicial del sistema, más la suma de todos los impulsos de las fuerzas externas aplicadas al sistema, es igual a la cantidad de movimiento total final. Las fuerzas internas (como la tensión en una cuerda que une dos masas) generan impulsos iguales y opuestos que se anulan mutuamente.

3. Impacto: Definiciones Básicas

Un impacto o choque es una colisión entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo de tiempo extremadamente corto, durante el cual los cuerpos ejercen fuerzas mutuas relativamente grandes (fuerzas impulsivas).

Para clasificar los impactos, primero definimos la Línea de Impacto: es la línea recta imaginaria que es estrictamente perpendicular a las superficies de contacto (el plano de contacto) en el instante mismo del choque.

1. Impacto Central: Ocurre cuando los centros de masa de ambos cuerpos en colisión se encuentran exactamente sobre la línea de impacto. (Ej. El choque frontal de dos bolas de billar perfectamente esféricas y homogéneas).
2. Impacto Excéntrico: Ocurre cuando el centro de masa de uno o de ambos cuerpos no se encuentra sobre la línea de impacto. Este tipo de choque no solo cambia la velocidad lineal de los cuerpos, sino que induce una rotación instantánea (un torque impulsivo).

4. Impacto Central Directo y el Coeficiente de Restitución

Concepto:

Es un impacto central donde, además, las velocidades iniciales de ambos cuerpos son colineales (paralelas) a la línea de impacto. Es un choque en una sola dimensión (1D).

Durante el choque, ocurren dos fases mecánicas:

1. Fase de Deformación: Los cuerpos se tocan, se aplastan mutuamente y alcanzan una misma velocidad conjunta máxima.
2. Fase de Restitución: Los cuerpos intentan recuperar su forma original, empujándose para separarse.

Para cuantificar cuánta energía o "rebote" sobrevive a estas fases, usamos el Coeficiente de Restitución ($e$), que es la relación entre el impulso de restitución y el impulso de deformación. Matemáticamente, se expresa como la relación de las velocidades relativas:

$$ e = \frac{(v_B)_2 - (v_A)_2}{(v_A)_1 - (v_B)_1} = \frac{\text{Velocidad relativa de separación}}{\text{Velocidad relativa de acercamiento}} $$

A. Impacto Perfectamente Elástico ($e = 1$)

• Concepto: Los impulsos de deformación y restitución son idénticos. Los cuerpos recuperan el 100% de su forma original.
• Consecuencia: No se pierde energía. En este caso teórico ideal, se conserva tanto la cantidad de movimiento total del sistema como la Energía Cinética Total del sistema.
• $$ \sum \frac{1}{2} m_i (v_i)_1^2 = \sum \frac{1}{2} m_i (v_i)_2^2 $$

B. Impacto Perfectamente Plástico ($e = 0$)

• Concepto: No existe fase de restitución. El material se aplasta y no intenta recuperar su forma.
• Consecuencia: Los cuerpos no se separan después del choque; se acoplan y continúan moviéndose juntos a una misma velocidad final común ($v_f$).
• Fórmula: Aplicando conservación de momento lineal:
• $$ m_A (v_A)_1 + m_B (v_B)_1 = (m_A + m_B) v_f $$
• (En este tipo de impacto se produce la máxima pérdida posible de energía cinética del sistema, transformándose en calor y deformación permanente).

5. Impacto Central Oblicuo

Concepto:

Ocurre cuando el choque sigue siendo central (centros de masa en la línea de impacto), pero las velocidades iniciales de uno o ambos cuerpos llegan en ángulo, es decir, no son colineales con la línea de impacto.

Metodología de Análisis (Resolución en 2D):

Para resolver este problema, la física exige establecer un sistema de coordenadas específico en el instante del choque: el Eje $n$ (normal o línea de impacto) y el Eje $t$ (tangencial o plano de contacto).

1. En el Eje Tangencial ($t$): Asumiendo que las superficies son lisas (sin fricción), los cuerpos no se empujan entre sí a lo largo del plano de contacto. Como no hay impulsos en el eje $t$, la velocidad tangencial de cada partícula individual se conserva estrictamente.
2. $$ (v_{At})_1 = (v_{At})_2 \quad \text{y} \quad (v_{Bt})_1 = (v_{Bt})_2 $$
3. En el Eje Normal ($n$): Todas las fuerzas impulsivas de deformación y restitución ocurren exclusivamente a lo largo de la línea de impacto. Por lo tanto, aplicamos el momento lineal del sistema entero y la fórmula del coeficiente de restitución solo usando las componentes normales de las velocidades:

• Conservación del Momento en el eje $n$:
• $$ m_A (v_{An})_1 + m_B (v_{Bn})_1 = m_A (v_{An})_2 + m_B (v_{Bn})_2 $$
• Coeficiente de Restitución en el eje $n$:
• $$ e = \frac{(v_{Bn})_2 - (v_{An})_2}{(v_{An})_1 - (v_{Bn})_1} $$

Una vez halladas las componentes finales en $n$ y $t$, se suman vectorialmente mediante el Teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud final y el nuevo ángulo de rebote de cada cuerpo en el espacio bidimensional.