Principio de Trabajo y Energía para un Sistema de Partículas

1. Principio de Trabajo y Energía para un Sistema de Partículas

Para una sola partícula, el principio establece que el trabajo realizado por la fuerza neta aplicada a la partícula es igual a su cambio en energía cinética. Pero, ¿qué ocurre cuando analizamos un sistema de $n$ partículas (como un mecanismo articulado, una nube de gas o un fluido)?

En un sistema, cada partícula $i$ está sometida a Fuerzas Externas ($\vec{F}_i$) y a Fuerzas Internas ($\vec{f}_{ij}$, la fuerza que la partícula $j$ ejerce sobre la partícula $i$).

La Ecuación Fundamental:

El principio general para el sistema es la suma de los principios individuales de todas las partículas:

$$ T_1 + \sum U_{1\to 2} = T_2 $$

Donde:

• $T_1$ y $T_2$ son la Energía Cinética total inicial y final del sistema ($T = \sum \frac{1}{2}m_i v_i^2$).
• $\sum U_{1\to 2}$ es el Trabajo Total realizado por TODAS las fuerzas (externas e internas) al moverse del estado 1 al estado 2.

Demostración Crítica: El Trabajo de las Fuerzas Internas

En la conservación de la cantidad de movimiento, las fuerzas internas siempre se anulan. Sin embargo, en el trabajo y energía, esto no siempre es cierto.

Tomemos dos partículas $A$ y $B$ que se atraen mutuamente. Por la Tercera Ley de Newton, $\vec{f}_{AB} = -\vec{f}_{BA}$.

El trabajo interno total al desplazarse es:

$$ dU_{int} = \vec{f}_{AB} \cdot d\vec{r}_A + \vec{f}_{BA} \cdot d\vec{r}_B $$

Sustituyendo $\vec{f}_{BA}$ por $-\vec{f}_{AB}$ y factorizando:

$$ dU_{int} = \vec{f}_{AB} \cdot (d\vec{r}_A - d\vec{r}_B) = \vec{f}_{AB} \cdot d\vec{r}_{A/B} $$

Implicación de Ingeniería:

• Si el sistema es un Cuerpo Rígido, la distancia entre partículas no cambia, por lo que el desplazamiento relativo $d\vec{r}_{A/B}$ es perpendicular a la fuerza interna. El producto punto es cero y las fuerzas internas no realizan trabajo.
• Si el sistema es Deformable (ej. dos masas unidas por un resorte, o un gas expandiéndose), hay desplazamiento relativo ($d\vec{r}_{A/B} \neq 0$). Las fuerzas internas SÍ realizan trabajo y deben incluirse en la ecuación.

Sistema de Partículas Aislado

Un sistema está aislado mecánicamente cuando no hay fuerzas externas actuando sobre él ($\sum U_{ext} = 0$).

Si además el sistema es rígido (no hay trabajo interno), la ecuación se reduce a $T_1 = T_2$. La energía cinética total del sistema se mantiene estrictamente constante.

2. Notas Recordatorias: Fundamentos de Energía

Para aplicar correctamente la ecuación anterior, debemos categorizar la naturaleza de las fuerzas involucradas.

A. Fuerzas Conservativas y No Conservativas

• Fuerzas Conservativas: Son aquellas cuyo trabajo realizado para mover una partícula de un punto A a un punto B es independiente de la trayectoria seguida. El trabajo solo depende de las coordenadas iniciales y finales.
• Ejemplos: La gravedad, la fuerza elástica de un resorte ideal.
• Propiedad clave: Si el viaje es en un circuito cerrado (A $\to$ B $\to$ A), el trabajo total es estrictamente cero.
• Fuerzas No Conservativas (Disipativas): Son aquellas cuyo trabajo depende de la trayectoria. Cuanto más larga sea la ruta, más trabajo realizan. Extraen o inyectan energía mecánica al sistema, transformándola generalmente en calor o sonido.
• Ejemplos: Fricción cinética, resistencia del aire (arrastre aerodinámico), fuerzas motoras.

B. Energía Potencial ($V$) y Conservación

Para las fuerzas conservativas, en lugar de calcular el "trabajo" integral cada vez, definimos una función de estado llamada Energía Potencial ($V$). El trabajo realizado por una fuerza conservativa es exactamente igual a la disminución de su energía potencial:

$$ U_{cons} = V_1 - V_2 $$

Sustituyendo esto en el principio de trabajo y energía original, obtenemos la Ley General de Conservación de la Energía:

$$ T_1 + V_1 + \sum U_{NC} = T_2 + V_2 $$

(Donde $\sum U_{NC}$ es el trabajo de las fuerzas no conservativas, como la fricción).

C. Energía Potencial Gravitatoria ($V_g$)

Es la energía que posee un sistema debido a la elevación de su centro de masa en un campo gravitatorio. Cerca de la superficie terrestre, se considera que el peso ($W = mg$) es constante.

Demostración del Trabajo Gravitatorio:

Si elevamos un cuerpo desde una altura $y_1$ hasta $y_2$ (con el eje Y apuntando hacia arriba):

$$ U_{peso} = \int_{y_1}^{y_2} \vec{W} \cdot d\vec{y} = \int_{y_1}^{y_2} (-mg\hat{j}) \cdot (dy\hat{j}) = -mg \int_{y_1}^{y_2} dy = -mg(y_2 - y_1) $$

Definiendo $V_g = mgy$, vemos que $U_{peso} = V_{g1} - V_{g2}$. El trabajo de la gravedad es independiente de si subimos por una rampa recta o en espiral; solo importa el cambio de altitud vertical.

D. Potencia ($P$)

Mientras que el trabajo y la energía son cantidades estáticas acumulativas, la Potencia mide la tasa temporal a la cual se realiza dicho trabajo. En ingeniería, esto define el tamaño y capacidad de los motores.

Fórmulas:

$$ P = \frac{dU}{dt} $$

Dado que $dU = \vec{F} \cdot d\vec{r}$, podemos dividir por $dt$:

$$ P = \vec{F} \cdot \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) = \vec{F} \cdot \vec{v} $$

(La potencia instantánea es el producto escalar de la fuerza aplicada por la velocidad del objeto en ese instante. Se mide en Vatios ($W$) o Caballos de Fuerza ($HP$)).