PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA PARA EL ESTUDIO DEL SÓLIDO RÍGIDO

El análisis dinámico de un sólido rígido mediante el Principio de Trabajo y Energía es una herramienta analítica sumamente elegante y poderosa. A diferencia de las leyes de Newton (que relacionan fuerza y aceleración en un instante específico), este principio relaciona la fuerza, el desplazamiento y la velocidad a lo largo de una trayectoria completa, sin necesidad de calcular la aceleración temporal.

Al igual que en la cantidad de movimiento, el hecho de que el cuerpo sea "rígido" cambia las reglas del juego, ya que debemos contabilizar la energía tanto por su desplazamiento como por su rotación.

1. Trabajo Realizado sobre un Sólido Rígido

Concepto Fundamental:

El trabajo mecánico ($U$) se define como la transferencia de energía que ocurre cuando una fuerza desplaza un cuerpo o un momento hace girar un cuerpo.

En un sólido rígido ideal, las fuerzas internas no realizan ningún trabajo neto. Esto se debe a que la distancia entre cualquier par de partículas internas se mantiene constante (no hay desplazamiento relativo entre ellas, por ende el producto escalar de la fuerza interna por la distancia relativa es cero). Por lo tanto, en nuestra ecuación solo participan las fuerzas y momentos externos.

Fórmulas y Demostraciones:

A. Trabajo de una Fuerza ($U_F$):

Si una fuerza externa $\vec{F}$ actúa sobre un punto $P$ del sólido que se desplaza a lo largo de una curva, el trabajo es la integral del producto escalar de la fuerza por el desplazamiento diferencial $d\vec{r}$:

$$ U_{1\to 2} = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} $$

Si la fuerza es constante en magnitud y dirección, y el desplazamiento es rectilíneo ($s$), la fórmula se reduce algebraicamente a $U = F \cdot s \cdot \cos\theta$.

B. Trabajo de un Momento o Par de Fuerzas ($U_M$):

Si aplicamos un torque o momento $\vec{M}$ puro al sólido rígido y este gira un ángulo diferencial $d\theta$, el trabajo realizado de forma puramente rotacional se demuestra como:

$$ U_{1\to 2} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M \, d\theta $$

Si el momento es constante durante toda la rotación, el trabajo es simplemente $U_M = M (\theta_2 - \theta_1)$.

2. Energía Cinética de un Sólido Rígido ($T$)

Concepto Fundamental:

La energía cinética es la energía que posee el sólido debido a su movimiento. Por el Teorema de Chasles, sabemos que el movimiento plano general de un sólido rígido puede separarse en una traslación pura de su Centro de Masa ($G$) y una rotación pura alrededor de dicho Centro de Masa.

La energía cinética total hereda exactamente esta dualidad mecánica (esto se conoce matemáticamente como el Teorema de Koenig).

Fórmula Maestra:

La energía cinética total ($T$) es la suma escalar de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación:

$$ T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2 $$

Donde:

• $m$ = Masa total del cuerpo.
• $v_G$ = Magnitud de la velocidad lineal del centro de masa.
• $I_G$ = Momento de Inercia de masa respecto al centro de masa.
• $\omega$ = Velocidad angular del sólido rígido.

Demostración Analítica:

Si visualizamos el sólido como un conjunto de infinitas partículas de masa $dm$, la energía cinética total es la suma (integral) de las energías individuales:

$$ T = \int \frac{1}{2} v^2 \, dm $$

La velocidad absoluta $\vec{v}$ de cualquier partícula es $\vec{v} = \vec{v}_G + \vec{v}'$ (donde $\vec{v}'$ es la velocidad de la partícula vista desde el centro de masa $G$). Al elevar esto al cuadrado mediante un producto punto:

$$ v^2 = (\vec{v}_G + \vec{v}') \cdot (\vec{v}_G + \vec{v}') = v_G^2 + 2(\vec{v}_G \cdot \vec{v}') + (v')^2 $$

Sustituyendo esto en la integral:

$$ T = \int \frac{1}{2} v_G^2 \, dm + \int (\vec{v}_G \cdot \vec{v}') \, dm + \int \frac{1}{2} (v')^2 \, dm $$

1. En el primer término, $v_G^2$ es constante para todas las partículas, por lo que la integral de $dm$ es la masa total $m$: $\frac{1}{2} m v_G^2$.
2. El segundo término se cancela a cero rigurosamente, porque la integral $\int \vec{v}' \, dm$ representa el momento estático respecto al centro de masa, y por definición de centro de masa, este valor es matemáticamente nulo.
3. En el tercer término, la velocidad relativa rotacional es $v' = r \omega$. Al elevarlo al cuadrado, $\int r^2 \omega^2 \, dm = \omega^2 \int r^2 \, dm$. Y sabemos que $\int r^2 \, dm$ es la definición de Momento de Inercia centroidal ($I_G$).
4. Sustituyendo todo, queda demostrada la dualidad de la fórmula:
5. $$ T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2 $$

3. Principio de Trabajo y Energía y Conservación de la Energía

El Principio General:

Si sumamos el trabajo realizado por todas las fuerzas y momentos externos que actúan sobre el sólido rígido mientras se mueve desde el Estado 1 hasta el Estado 2, este trabajo total será exactamente igual al cambio numérico en su energía cinética.

$$ T_1 + \sum U_{1\to 2} = T_2 $$

Esta ecuación es increíblemente útil para calcular la velocidad final de un péndulo complejo, un volante de inercia o una viga que se desploma, sin integrar aceleraciones.

Principio de Conservación de la Energía:

Cuando todas las fuerzas que realizan trabajo sobre el sólido rígido son fuerzas conservativas (como el peso gravitacional o la fuerza de un resorte elástico ideal), el trabajo de estas fuerzas puede expresarse como una pérdida de Energía Potencial ($V$).

$$ U_{cons} = V_1 - V_2 $$

Sustituyendo en el principio de trabajo y energía:

$$ T_1 + V_1 = T_2 + V_2 $$

Esto demuestra que, en ausencia de fricción o motores, la Energía Mecánica Total ($E = T + V$) del sólido rígido permanece estrictamente constante durante todo su movimiento. Si el sólido gana velocidad (aumenta su $T$ lineal o rotacional), debe obligatoriamente sacrificar altura o liberar un resorte (disminuir su $V$).