Principio de impulso y cantidad de movimiento para el estudio del sólido rígido

1. Cantidad de Movimiento de un Sólido Rígido

Para un sólido rígido de masa $m$ que se mueve en el plano, definimos dos cantidades vectoriales fundamentales:

• Cantidad de Movimiento Lineal ($\vec{L}$): Representa la "cantidad de traslación" del cuerpo. Se considera concentrada en el centro de masa ($G$).
• $$\vec{L} = m \vec{v}_G$$
• Cantidad de Movimiento Angular ($\vec{H}_G$): Representa la "cantidad de rotación" del cuerpo respecto a su centro de masa.
• $$\vec{H}_G = I_G \vec{\omega}$$
• Donde $I_G$ es el momento de inercia respecto al eje que pasa por $G$ y $\omega$ es la velocidad angular.

2. Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento

El principio establece que el estado de movimiento final de un cuerpo es igual a su estado inicial más el efecto acumulado de las fuerzas y momentos externos (impulsos) aplicados durante un intervalo de tiempo.

A. Impulso Lineal

Es el efecto de una fuerza externa $\vec{F}$ durante el tiempo $\Delta t$:

$$\int_{t_1}^{t_2} \sum \vec{F} dt = m \vec{v}_{G2} - m \vec{v}_{G1}$$

B. Impulso Angular

Es el efecto de los momentos externos $\vec{M}_G$ (torques) respecto al centro de masa durante el tiempo $\Delta t$:

$$\int_{t_1}^{t_2} \sum \vec{M}_G dt = I_G \omega_2 - I_G \omega_1$$

Demostración Analítica:

Partiendo de las ecuaciones de Newton-Euler:

1. $\sum \vec{F} = m \vec{a}_G = m \frac{d\vec{v}_G}{dt} \implies \int \sum \vec{F} dt = \int m d\vec{v}_G$
2. $\sum \vec{M}_G = I_G \alpha = I_G \frac{d\omega}{dt} \implies \int \sum \vec{M}_G dt = \int I_G d\omega$

Integrando ambos lados entre $t_1$ y $t_2$, obtenemos las ecuaciones de balance de impulso.

3. Conservación de la Cantidad de Movimiento

Este principio es una consecuencia directa de las ecuaciones anteriores cuando los impulsos externos son nulos.

Conservación del Momento Lineal

Si la suma de las fuerzas externas en una dirección específica es cero ($\sum F_x = 0$) durante el intervalo, entonces el momento lineal en esa dirección se conserva:

$$m(v_{Gx})_1 = m(v_{Gx})_2$$

Conservación del Momento Angular

Si la suma de los momentos externos respecto a un punto $O$ es cero ($\sum M_O = 0$), el momento angular respecto a ese punto permanece constante:

$$(H_O)_1 = (H_O)_2$$

Importancia en Impactos:

En un choque, las fuerzas internas de contacto son inmensas pero se anulan al considerar el sistema completo. Si no hay otras fuerzas externas significativas (como la gravedad o fricción en ese instante tan breve), el momento lineal y angular del sistema total se conservan.