Métodos Energéticos: Análisis del Trabajo Externo y la Energía de Deformación Interna

1. Trabajo Desarrollado por una Carga ($W_e$)

Concepto Fundamental:

El trabajo externo es la energía transferida a una estructura por la acción de fuerzas aplicadas que causan desplazamientos. En ingeniería estructural, asumimos que las cargas se aplican gradualmente (de manera cuasiestática) desde cero hasta su valor máximo $P$, para evitar efectos dinámicos o fuerzas de inercia.

Fórmulas y Demostración:

Si una carga $P$ produce un desplazamiento diferencial $dx$ en su misma dirección, el trabajo diferencial es $dW_e = P \, dx$.

Para un comportamiento lineal elástico, la carga es proporcional al desplazamiento ($P = kx$). El trabajo total es el área del triángulo bajo la gráfica carga-desplazamiento:

$$ W_e = \int_{0}^{\Delta} P(x) \, dx = \frac{1}{2} P \Delta $$

(Para un momento flector $M$ o torsor $T$, el trabajo es análogo: $W_e = \frac{1}{2} M \theta$ o $W_e = \frac{1}{2} T \phi$).

2. Energía de Deformación Interna ($U$)

Concepto Fundamental:

Por el Principio de Conservación de la Energía, todo el trabajo realizado por las cargas externas sobre una estructura elástica se almacena en el interior del material en forma de Energía de Deformación Interna ($U$).

$$ W_e = U $$

Esta energía almacenada es la responsable de que la estructura recupere su forma original (fase de restitución) cuando se retiran las cargas, siempre y cuando no se supere el límite elástico del material.

3. Energía Específica de Deformación (Densidad de Energía, $u$)

Antes de evaluar la estructura completa, debemos definir cuánta energía absorbe un diferencial de volumen ($dV$). A esto se le llama Energía Específica de Deformación o Densidad de Energía de Deformación ($u$), medida en $J/m^3$ o $N\cdot m / m^3$.

A. Por Esfuerzo Axial ($\sigma$)

Para un cubo diferencial sometido a un esfuerzo normal uniaxial $\sigma$ que produce una deformación unitaria $\epsilon$:

$$ u = \frac{1}{2} \sigma \epsilon $$

Aplicando la Ley de Hooke ($\sigma = E\epsilon$), donde $E$ es el Módulo de Elasticidad:

$$ u = \frac{\sigma^2}{2E} $$

B. Por Esfuerzo Cortante ($\tau$)

Si el elemento diferencial está sometido a un esfuerzo cortante $\tau$ que produce una deformación angular $\gamma$:

$$ u = \frac{1}{2} \tau \gamma $$

Aplicando la Ley de Hooke para cortante ($\tau = G\gamma$), donde $G$ es el Módulo de Rigidez:

$$ u = \frac{\tau^2}{2G} $$

C. Caso General (Estado Triaxial de Esfuerzos)

En el mundo real, un diferencial puede estar sometido a tres esfuerzos normales y tres esfuerzos cortantes simultáneamente. Aplicando el Principio de Superposición (válido en el rango elástico lineal), la densidad de energía total es la suma de las contribuciones de cada componente del tensor de esfuerzos:

$$ u = \frac{1}{2} (\sigma_x \epsilon_x + \sigma_y \epsilon_y + \sigma_z \epsilon_z + \tau_{xy} \gamma_{xy} + \tau_{yz} \gamma_{yz} + \tau_{zx} \gamma_{zx}) $$

Sustituyendo las ecuaciones generalizadas de Hooke (que incluyen el efecto de Poisson, $\nu$), la ecuación puramente en función de los esfuerzos se expande a:

$$ u = \frac{1}{2E} [\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2 - 2\nu(\sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_z\sigma_x)] + \frac{1}{2G} [\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2] $$

4. Energía de Deformación Interna en una Barra

Para hallar la energía total almacenada en toda la barra ($U$), integramos la densidad de energía ($u$) sobre todo el volumen ($V$) del elemento:

$$ U = \int_V u \, dV $$

Dependiendo de la solicitación interna (fuerza axial, cortante, flexión o torsión), esta integral volumétrica colapsa en ecuaciones unidimensionales directas de diseño.

A. Por Fuerza Axial ($N$)

La distribución de esfuerzos normales por fuerza axial es uniforme: $\sigma = \frac{N}{A}$.

$$ U_N = \int_V \frac{\sigma^2}{2E} \, dV = \int_0^L \frac{(N/A)^2}{2E} (A \, dx) $$

$$ U_N = \int_0^L \frac{N^2}{2EA} \, dx $$

(Si la carga $N$ y la sección $A$ son constantes a lo largo de la barra, se simplifica a $U_N = \frac{N^2 L}{2EA}$).

B. Por Momento de Flexión ($M$)

El esfuerzo normal por flexión varía linealmente respecto al eje neutro: $\sigma = \frac{My}{I}$, donde $y$ es la distancia al eje neutro e $I$ es la inercia de la sección.

$$ U_M = \int_V \frac{\sigma^2}{2E} \, dV = \int_0^L \int_A \frac{(My/I)^2}{2E} \, dA \, dx $$

$$ U_M = \int_0^L \frac{M^2}{2EI^2} \left( \int_A y^2 \, dA \right) dx $$

Reconociendo que $\int_A y^2 dA$ es la definición de Inercia ($I$):

$$ U_M = \int_0^L \frac{M^2}{2EI} \, dx $$

C. Por Momento de Torsión ($T$)

En secciones circulares, el esfuerzo cortante de torsión varía linealmente desde el centro: $\tau = \frac{T\rho}{J}$, donde $\rho$ es el radio polar local y $J$ el Momento Polar de Inercia.

$$ U_T = \int_V \frac{\tau^2}{2G} \, dV = \int_0^L \int_A \frac{(T\rho/J)^2}{2G} \, dA \, dx $$

Reconociendo que $\int_A \rho^2 dA = J$:

$$ U_T = \int_0^L \frac{T^2}{2GJ} \, dx $$

D. Por Fuerza Cortante ($V$)

A diferencia del esfuerzo axial, el esfuerzo cortante debido a flexión no es uniforme en la sección transversal ($\tau = \frac{VQ}{It}$).

Para evitar integrar perfiles complejos cada vez, se introduce un Factor de Forma de Cortante ($f_s$ o $\alpha$), que depende exclusivamente de la geometría geométrica de la sección (ej. $f_s = 1.2$ para secciones rectangulares, $f_s \approx A/A_{web}$ para perfiles I).

$$ U_V = \int_0^L \frac{f_s V^2}{2GA} \, dx $$

(Nota: En vigas esbeltas, donde la longitud es mucho mayor que el peralte, la energía de deformación por corte es tan pequeña comparada con la de flexión que frecuentemente se desprecia en el análisis).

5. Energía de Deformación Interna: Caso General (Superposición)

En la mayoría de los pórticos y estructuras reales, un mismo elemento soporta flexión, corte y carga axial de manera simultánea.

Gracias a la linealidad elástica, las energías se suman algebraicamente para obtener la Energía de Deformación Interna Total del elemento:

$$ U_{total} = U_N + U_M + U_T + U_V $$

La Ecuación General de Castigliano para la energía de deformación en un elemento barra tridimensional se condensa finalmente en:

$$ U = \int_0^L \frac{N^2}{2EA} \, dx + \int_0^L \frac{M^2}{2EI} \, dx + \int_0^L \frac{T^2}{2GJ} \, dx + \int_0^L \frac{f_s V^2}{2GA} \, dx $$