Medicion y estructuras de control en flujo a superficie libre

1. Medición de Propiedades Básicas: Densidad y Viscosidad

Antes de analizar el flujo, debemos caracterizar el fluido mismo.

A. Medición de la Densidad ($\rho$)

La densidad es la masa por unidad de volumen ($\rho = m/V$).

• El Picnómetro: Es un frasco de vidrio de volumen exacto conocido. Se pesa vacío, luego lleno del fluido. Por diferencia de masa y volumen conocido, se obtiene la densidad exacta.
• El Hidrómetro (o Densímetro): Instrumento de vidrio con un peso en la base que flota verticalmente en el líquido.
• Demostración Física (Principio de Arquímedes): En equilibrio, el peso del hidrómetro ($W$) es igual a la fuerza de flotación ($F_B$).
• $$ W = \rho_{fluido} \cdot g \cdot V_{sumergido} $$
• Como $W$ y $g$ son constantes, el volumen sumergido es inversamente proporcional a la densidad del fluido. El vástago está calibrado para leer la densidad (o gravedad específica) directamente en la superficie del líquido.

B. Medición de la Viscosidad ($\mu$)

La viscosidad dinámica ($\mu$) mide la fricción interna del fluido. Se mide comúnmente con:

• Viscosímetro Rotacional: Mide el torque necesario para hacer girar un husillo a velocidad constante dentro del fluido. El esfuerzo cortante es directamente proporcional a este torque.
• Viscosímetro de Caída de Esfera (Ley de Stokes): Consiste en dejar caer una esfera de densidad y radio conocidos a través de un tubo con el fluido. Se mide el tiempo que tarda en recorrer una distancia para hallar su velocidad terminal ($V_t$).
• Demostración: En velocidad terminal, la aceleración es cero. Las fuerzas se equilibran: Peso ($W$) = Empuje ($F_B$) + Fricción de arrastre ($F_D$).
• La Ley de Stokes define el arrastre para régimen laminar: $F_D = 6\pi \mu R V_t$.
• Balance: $\rho_{esfera} g \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) = \rho_{fluido} g \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) + 6\pi \mu R V_t$
• Despejando la viscosidad:
• $$ \mu = \frac{2 R^2 g (\rho_{esfera} - \rho_{fluido})}{9 V_t} $$

2. Esfuerzo Cortante que una corriente genera en la pared ($\tau_w$)

En flujos a superficie libre (ríos, canales), el agua en movimiento genera una fuerza de fricción tangencial sobre el lecho y las paredes. Conocer este esfuerzo cortante en la pared ($\tau_w$) es fundamental para saber si el agua erosionará el fondo o arrastrará sedimentos.

Demostración para Flujo Uniforme a Superficie Libre:

Imaginemos un bloque de agua de longitud $L$, área transversal $A$ y perímetro mojado $P$ (la parte del canal en contacto con el agua) fluyendo por un canal con una pendiente de fondo $S_0$.

En flujo uniforme (velocidad constante), las fuerzas que empujan el bloque a favor de la pendiente deben ser exactamente iguales a las fuerzas de fricción de la pared que lo frenan.

1. Fuerza de empuje (Componente del peso): $W_{x} = (\gamma \cdot A \cdot L) \sin\theta$. Para pendientes suaves, $\sin\theta \approx \tan\theta = S_0$.
2. Fuerza de resistencia (Cortante): $F_R = \tau_w \cdot \text{Área de contacto} = \tau_w \cdot P \cdot L$.

Igualando ambas fuerzas:

$$ \gamma A L S_0 = \tau_w P L $$

$$ \tau_w = \gamma \left( \frac{A}{P} \right) S_0 $$

Sabiendo que la relación $\frac{A}{P}$ es el Radio Hidráulico ($R_h$), obtenemos la ecuación fundamental:

$$ \tau_w = \gamma \cdot R_h \cdot S_0 $$

Esta fórmula demuestra que la fuerza erosiva de un canal depende directamente del peso específico del agua, de su profundidad (representada por el radio hidráulico) y de la inclinación del terreno.

3. Medición de Presión en Flujo de Fluidos

Para monitorear la energía de flujo y controlar sistemas de tuberías o compuertas, se utilizan distintos medidores de presión:

• Piezómetros: Es el dispositivo más simple. Es un tubo transparente abierto a la atmósfera que se conecta a la pared de una tubería o canal. El líquido sube por el tubo hasta alcanzar el equilibrio. Mide la presión estática.
• $$ P = \gamma \cdot h $$
• Manómetro de Bourdon: Es el clásico medidor de dial mecánico. Consiste en un tubo metálico curvo, aplanado y hueco en su interior.
• Principio: Cuando el fluido a presión entra al tubo, la presión interna intenta "desenrollar" o enderezar el tubo (como un matasuegras de fiesta). Este pequeño movimiento mecánico mueve engranajes que hacen girar la aguja indicadora en una escala calibrada.
• Transductores de Presión: Son sensores electromecánicos modernos. Utilizan cristales piezoeléctricos o galgas extensiométricas que cambian su resistencia eléctrica cuando son deformados por la presión del fluido. Convierten la presión física en una señal eléctrica continua ($4-20 mA$ o voltaje), ideal para sistemas de control automatizado por computadora.

4. Tubo Estático y Tubo de Pitot (Medición de Velocidad)

El Tubo de Pitot es un instrumento genial inventado por Henri Pitot que utiliza el principio de conservación de la energía (Bernoulli) para calcular la velocidad de un fluido simplemente midiendo presiones.

• Tubo Estático: Es un tubo con agujeros perpendiculares a la dirección del flujo. El fluido pasa por los agujeros sin entrar violentamente, por lo que mide la Presión Estática ($P_s$) pura del flujo imperturbado.
• Tubo Pitot (Toma de estancamiento): Es un tubo abierto que apunta directamente contra la corriente. Cuando el fluido choca contra el agujero, se frena por completo (velocidad cero). Toda la energía cinética del fluido se convierte en presión. Esta es la Presión de Estancamiento o Dinámica ($P_t$).

Demostración Matemática:

Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre un punto en la corriente libre (Punto 1) y el punto justo en la boca del tubo Pitot (Punto 2, punto de estancamiento):

$$ \frac{P_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 $$

1. Ambos puntos están a la misma elevación horizontal: $z_1 = z_2$.
2. En el punto 1 (corriente libre): La presión es $P_s$ y la velocidad es $V$.
3. En el punto 2 (estancamiento): El fluido está frenado, por lo que $V_2 = 0$. La presión máxima registrada aquí es $P_t$.

Sustituyendo estos valores en la ecuación:

$$ \frac{P_s}{\gamma} + \frac{V^2}{2g} = \frac{P_t}{\gamma} $$

Despejando la carga de velocidad:

$$ \frac{V^2}{2g} = \frac{P_t - P_s}{\gamma} $$

Finalmente, despejando la velocidad $V$:

$$ V = \sqrt{\frac{2(P_t - P_s)}{\rho}} $$

Esta demostración prueba que si podemos medir la diferencia entre la presión de impacto frontal ($P_t$) y la presión estática lateral ($P_s$), podemos calcular instantáneamente la velocidad del flujo. Este es el principio exacto con el que los aviones miden su velocidad en el aire.