Medición de Caudal en Sistemas a Presión y a Superficie Libre

1. Medición Volumétrica (Método Directo)

Es el método más básico, exacto y absoluto, utilizado frecuentemente en laboratorios para calibrar otros instrumentos.

Concepto: Consiste en recolectar el fluido que sale de un sistema en un recipiente de volumen o peso exactamente conocido, midiendo el tiempo que tarda en llenarse con un cronómetro.

Fórmulas:

• Método volumétrico: $Q = \frac{V}{t}$ (donde $V$ es el volumen recolectado y $t$ el tiempo).
• Método gravimétrico: Se pesa el tanque antes y después. La masa recolectada es $\Delta m$. El caudal másico es $\dot{m} = \frac{\Delta m}{t}$. Sabiendo la densidad del fluido ($\rho$), el caudal volumétrico es $Q = \frac{\dot{m}}{\rho}$.

2. Medidores de Diferencia de Presión (Flujo en Tuberías)

Estos medidores obligan al fluido a pasar por una restricción (reducción de área). Por la Ecuación de Continuidad, la velocidad debe aumentar; y por la Ecuación de Bernoulli, este aumento de energía cinética provoca una caída en la presión estática. Midamos esa caída de presión ($\Delta P$) para calcular el caudal.

Deducción General (Teórica)

Apliquemos Bernoulli y Continuidad entre la sección de la tubería normal (1) y la sección contraída o garganta (2), asumiendo flujo horizontal ($z_1 = z_2$) y sin pérdidas:

$$ \frac{P_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} $$

Por continuidad: $V_1 = V_2 \left( \frac{A_2}{A_1} \right)$

Sustituyendo $V_1$ en Bernoulli y despejando la velocidad teórica en la garganta ($V_2$):

$$ V_{2, ideal} = \sqrt{\frac{2g \left( \frac{P_1 - P_2}{\gamma} \right)}{1 - \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^2}} $$

El Coeficiente de Descarga ($C_d$) y Coeficiente de Velocidad ($C_v$)

En la realidad, el fluido sufre pérdidas por fricción viscosa y turbulencia (afectando la velocidad real respecto a la teórica, medido por $C_v$). Además, en algunos medidores el chorro se contrae más allá del área física del agujero (vena contracta), medido por el coeficiente de contracción ($C_c$).

El Coeficiente de Descarga ($C_d$) agrupa ambos efectos ($C_d = C_v \cdot C_c$). La ecuación final real para cualquier medidor diferencial es:

$$ Q_{real} = C_d \cdot A_2 \sqrt{\frac{2g \Delta h}{1 - \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^2}} $$

(Donde $\Delta h = \frac{P_1 - P_2}{\gamma}$ es la diferencia de carga piezométrica leída en un manómetro).

Tipos de Medidores

1. Venturímetro: Consiste en un cono convergente suave, una garganta cilíndrica y un cono divergente muy alargado.

• Ventaja: Al guiar el flujo suavemente, evita la separación de la capa límite. Tiene la pérdida de carga permanente más baja de todos. Su $C_d$ es muy alto (entre 0.98 y 0.99).

1. Tobera de flujo (Nozzle): Tiene una entrada convergente suave como el Venturi, pero no tiene cono divergente de salida; el fluido se expande bruscamente.

• Característica: Más barata y compacta que el Venturi, pero con mayor pérdida de carga permanente. Su $C_d$ ronda los 0.96.

1. Placa Orificio: Es simplemente un disco plano con un agujero en el centro intercalado entre dos bridas de la tubería.

• Característica: Extremadamente barata y fácil de instalar. Sin embargo, provoca una contracción brusca que forma una pronunciada vena contracta, seguida de vórtices severos. Genera la mayor pérdida de energía del sistema. Su $C_d$ es bajo, típicamente alrededor de 0.60 a 0.65.

3. Estructuras de Control y Medición a Superficie Libre

En canales y embalses, el caudal se mide relacionándolo con la carga hidráulica (tirante o profundidad de agua, $H$) aguas arriba de una barrera física.

A. Orificio en Flujo a Superficie Libre

Imagina un agujero en la pared lateral de un tanque abierto a la atmósfera.

Demostración (Teorema de Torricelli):

Aplicamos Bernoulli entre la superficie libre del tanque (1) y el chorro saliendo del orificio (2).

$$ \frac{P_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 $$

• $P_1 = P_2 = P_{atm} = 0$ (presión manométrica).
• El tanque es tan grande que la velocidad de descenso del nivel es despreciable: $V_1 \approx 0$.
• La diferencia de elevación es la carga hidráulica: $z_1 - z_2 = H$.

Despejando obtenemos la velocidad teórica: $V_2 = \sqrt{2gH}$.

Aplicando el coeficiente de descarga ($C_d \approx 0.60$ para bordes afilados), el caudal real es:

$$ Q = C_d \cdot A \sqrt{2gH} $$

B. Vertederos (Weirs)

Son barreras u obstrucciones sobre las cuales el fluido debe pasar (rebosar). Son el estándar para medir caudal en canales pequeños y medianos.

Demostración para Vertedero Rectangular de Pared Delgada:

Consideremos un vertedero de ancho $L$ y una carga de agua $H$ medida desde la cresta. A diferencia de un orificio simple, la velocidad varía con la profundidad. Tomamos una franja diferencial horizontal de agua de espesor $dh$ a una profundidad $h$ desde la superficie.

• Velocidad en la franja: $v = \sqrt{2gh}$
• Área de la franja: $dA = L \cdot dh$
• Caudal diferencial: $dQ = v \cdot dA = \sqrt{2gh} \cdot L \cdot dh$

Integramos desde la superficie ($h=0$) hasta la cresta ($h=H$):

$$ Q_{ideal} = \int_{0}^{H} L \sqrt{2g} h^{1/2} dh = L \sqrt{2g} \left[ \frac{h^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{H} = \frac{2}{3} L \sqrt{2g} H^{3/2} $$

Aplicando el coeficiente empírico global del vertedero ($C_w$):

$$ Q = C_w \cdot L \cdot H^{3/2} $$

• Vertedero Triangular (V-Notch): Usado para medir con gran precisión caudales pequeños. La geometría hace que el área dependa del cuadrado de la altura. Al integrar, la fórmula resultante es:
• $$ Q = C_w \cdot \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) H^{5/2} $$

C. Compuerta (Sluice Gate)

Es una placa vertical que puede subirse o bajarse, permitiendo que el agua fluya por debajo. Funciona de manera similar a un orificio de grandes dimensiones.

Si la compuerta tiene una abertura de altura $a$ y ancho $b$, y el tirante de agua aguas arriba es $y_1$, el caudal se calcula como:

$$ Q = C_d \cdot (a \cdot b) \sqrt{2g y_1} $$

El fluido al salir por debajo de la compuerta se comprime formando una vena contracta de profundidad $y_2 < a$, lo que se refleja en un $C_d$ típico de 0.61 (para descarga libre).

4. Medición de Flujo en Grandes Canales y Cauces (Aforos)

Las estructuras como vertederos ahogarían o causarían daños si se construyeran en ríos navegables o cauces masivos. Aquí no podemos usar una sola fórmula geométrica; debemos realizar un aforo por el Método de Área-Velocidad (Seccionamiento).

Metodología y Demostración:

La sección transversal de un río natural es irregular y la velocidad varía caóticamente (es más lenta cerca de las orillas y el fondo, y más rápida en el centro).

1. Se divide el ancho total del río en múltiples subsecciones verticales (dovelas) de ancho $w_i$.
2. En cada dovela $i$, se mide la profundidad total $y_i$. El área de la subsección es $A_i = w_i \cdot y_i$.
3. Se usa un correntómetro para medir la velocidad media en esa dovela ($V_{media, i}$). Por convención hidrológica:

• Si el río es poco profundo, se toma la velocidad al 60% de la profundidad (desde la superficie): $V_{media} = V_{0.6y}$.
• Si es profundo, se promedian las mediciones al 20% y 80%: $V_{media} = \frac{V_{0.2y} + V_{0.8y}}{2}$.

1. El caudal parcial de esa dovela es $Q_i = A_i \cdot V_{media, i}$.
2. El caudal total del río es la integración numérica de todas las subsecciones:

$$ Q_{total} = \sum_{i=1}^{n} (A_i \cdot V_{media, i}) $$