Mecánica de Fluidos: Ecuaciones fundamentales, Enfoque y Aproximaciones

1. Sistema y Volumen de Control: Enfoques de Descripción

Para describir el movimiento de un fluido, la mecánica clásica nos ofrece dos perspectivas fundamentales:

• Enfoque Lagrangiano (Sistema): Consiste en identificar una masa fija y específica de fluido (un "sistema") y seguir su trayectoria, velocidad y cambios a lo largo del tiempo. Es útil en la mecánica de sólidos, pero muy difícil de aplicar en fluidos, ya que las masas de fluido se deforman y mezclan continuamente.
• Analogía: Seguir un coche específico con un dron a lo largo de una autopista.
• Enfoque Euleriano (Volumen de Control): Consiste en definir una región fija (o móvil, pero con fronteras bien definidas) en el espacio, llamada Volumen de Control (VC). En lugar de seguir a las partículas, analizamos qué entra, qué sale y qué se acumula dentro de esa región. La frontera de esta región se llama Superficie de Control (SC).
• Analogía: Pararse en una caseta de peaje y contar cuántos coches pasan por hora y a qué velocidad.

El Teorema de Transporte de Reynolds (TTR)

El TTR es la herramienta matemática suprema que conecta ambos enfoques. Permite traducir las leyes de conservación (que aplican a un sistema cerrado lagrangiano) a un volumen de control euleriano.

Sea $B$ una propiedad extensiva cualquiera del fluido (masa, energía, cantidad de movimiento) y $\beta = B/m$ la propiedad intensiva (por unidad de masa). El TTR establece:

$$ \frac{dB_{sis}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \beta \rho dV + \int_{SC} \beta \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Significado de los términos:

1. Tasa de cambio del sistema: Cómo cambia la propiedad en la masa fija.
2. Término de acumulación: La rapidez con la que la propiedad aumenta o disminuye dentro del volumen de control a lo largo del tiempo.
3. Flujo neto (Convección): La cantidad neta de la propiedad que sale o entra a través de la superficie de control. ($\vec{n}$ es el vector normal a la superficie, apuntando hacia afuera).

2. Ecuaciones Fundamentales en Forma Integral

Aplicando el Teorema de Transporte de Reynolds a las tres leyes fundamentales de la física clásica, obtenemos las ecuaciones gobernantes de la mecánica de fluidos:

A. Conservación de la Masa (Ecuación de Continuidad)

• Principio: La masa de un sistema cerrado no cambia ($dB/dt = 0$).
• Variables: Propiedad $B = m$ (masa), $\beta = 1$.
• Ecuación Integral:
• $$ \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho dV + \int_{SC} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA = 0 $$
• Interpretación: La tasa a la que la masa se acumula dentro del volumen de control más la tasa neta de flujo másico que sale por las fronteras debe ser exactamente cero.

B. Conservación de la Cantidad de Movimiento (Segunda Ley de Newton)

• Principio: La suma de fuerzas externas es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento del sistema ($\Sigma \vec{F} = d(m\vec{V})/dt$).
• Variables: Propiedad $B = m\vec{V}$, $\beta = \vec{V}$.
• Ecuación Integral:
• $$ \sum \vec{F}_{ext} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \vec{V} \rho dV + \int_{SC} \vec{V} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$
• Interpretación: Las fuerzas netas (presión, gravedad, fricción) aplicadas sobre el volumen de control son iguales a la rapidez con la que se acumula el momento dentro del VC más el flujo neto de momento que atraviesa la superficie.

C. Conservación de la Energía (Primera Ley de la Termodinámica)

• Principio: El calor neto añadido menos el trabajo neto extraído es igual al cambio de energía del sistema ($\dot{Q} - \dot{W} = dE/dt$).
• Variables: Propiedad $B = E$ (energía total), $\beta = e = u + \frac{1}{2}V^2 + gz$ (energía interna + cinética + potencial).
• Ecuación Integral:
• $$ \dot{Q} - \dot{W}_{eje} - \dot{W}_{viscoso} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} e \rho dV + \int_{SC} \left( e + \frac{P}{\rho} \right) \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$
• Nota: El término $P/\rho$ aparece debido al trabajo de flujo (el trabajo necesario para empujar el fluido a través de las fronteras).

3. Geometría y Viscosidad

La interacción entre la geometría del conducto y la viscosidad del fluido define completamente cómo se mueve el fluido en la realidad.

• La Condición de No Deslizamiento: Físicamente, un fluido viscoso se adhiere a las fronteras sólidas con las que está en contacto. Esto significa que la velocidad del fluido exactamente en la pared es igual a la velocidad de la pared (normalmente cero).
• Capa Límite: Debido a esta condición de no deslizamiento, se forma una región cerca de la superficie donde los efectos viscosos son dominantes, creando un gradiente de velocidades.
• Perfil de Velocidad: La geometría impone fronteras, y la fricción (viscosidad) frena el fluido cerca de ellas. En un tubo cilíndrico, por ejemplo, el fluido en el centro fluye más rápido que en los bordes.

Flujo de Poiseuille (Demostración de Geometría + Viscosidad)

Para un flujo laminar totalmente desarrollado en una tubería circular recta de radio $R$, el equilibrio entre las fuerzas de presión (que empujan) y las fuerzas viscosas (que frenan) genera un perfil de velocidad parabólico. La ecuación que describe la velocidad $u$ en cualquier radio $r$ es:

$$ u(r) = \frac{R^2}{4\mu} \left(-\frac{dP}{dx}\right) \left[ 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2 \right] $$

(Donde $\mu$ es la viscosidad dinámica y $-dP/dx$ es el gradiente de presión que impulsa el flujo).

4. Aproximaciones para el Desarrollo de Ecuaciones

Resolver las ecuaciones integrales exactas es matemáticamente titánico (y a menudo imposible analíticamente para flujos turbulentos). Por ello, los ingenieros recurren a suposiciones simplificadoras para casos específicos:

1. Flujo Estacionario (o Permanente): Se asume que ninguna propiedad del fluido en un punto espacial cambia con el tiempo. Esto elimina los complejos términos de acumulación temporal ($\partial / \partial t = 0$).
2. Flujo Incompresible: Se asume que la densidad ($\rho$) es constante. Esto es válido para casi todos los líquidos y para gases a baja velocidad (Número de Mach < 0.3). Simplifica enormemente la ecuación de continuidad a $\Sigma Q_{in} = \Sigma Q_{out}$.
3. Flujo Ideal (No Viscoso): Se asume que la viscosidad ($\mu$) es cero, eliminando las fuerzas de corte y la condición de no deslizamiento. Permite el uso de las ecuaciones de Euler y es útil lejos de las paredes sólidas (fuera de la capa límite).
4. Aproximación Unidimensional (1D): Se asume que las propiedades del flujo (como la velocidad) son uniformes en toda la sección transversal de una tubería. En lugar de lidiar con perfiles parabólicos, se usa una "velocidad promedio" ($V = Q/A$).