Mecánica Analítica Aplicada: Dinámica del Sólido Rígido Bidimensional mediante Euler-Lagrange

1. El Método de D'Alembert para el Sólido Rígido

Jean le Rond d'Alembert proporcionó el puente conceptual entre la estática y la dinámica, sentando las bases para los métodos de la energía.

Concepto Fundamental (Equilibrio Dinámico):

D'Alembert propuso reescribir las leyes de Newton pasando los términos de aceleración al lado de las fuerzas. Al hacerlo, introdujo fuerzas y momentos "ficticios" o inerciales.

Para un sólido rígido en movimiento plano (2D):

$$ \sum \vec{F} - m\vec{a}_G = 0 $$

$$ \sum \vec{M}_G - I_G \alpha = 0 $$

El término $(-m\vec{a}_G)$ actúa como una fuerza de inercia, y $(-I_G \alpha)$ actúa como un par de inercia. El sistema en movimiento ahora puede tratarse matemáticamente como si estuviera en equilibrio estático.

Conexión con el Trabajo Virtual:

Si el sistema está en este "equilibrio dinámico", el trabajo virtual ($\delta W$) realizado por todas las fuerzas (reales e inerciales) durante un desplazamiento virtual compatible debe ser cero:

$$ \delta W = \sum (\vec{F}_i - m\vec{a}_i) \cdot \delta\vec{r}_i + \sum (\vec{M}_G - I_G \vec{\alpha}) \cdot \delta\vec{\theta} = 0 $$

Esta es la Ecuación General de la Dinámica, de la cual se deriva toda la mecánica analítica.

2. Principio de Trabajo y Energía (Sólido Rígido 2D)

Al integrar la ecuación del principio de D'Alembert a lo largo de una trayectoria real, obtenemos el Principio de Trabajo y Energía.

Para un sólido rígido, la Energía Cinética Total ($T$) se define por sus dos coordenadas generalizadas en 2D (traslación del Centro de Masa $G$ y rotación alrededor de $G$):

$$ T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2 $$

(En coordenadas cartesianas: $v_G^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$ y $\omega = \dot{\theta}$).

El principio escalar de conservación establece que el Trabajo de las fuerzas no conservativas ($W_{nc}$) es igual a la variación de la Energía Mecánica Total (Lagrangiana o Hamiltoniana):

$$ T_1 + V_1 + W_{nc} = T_2 + V_2 $$

(Donde $V$ es la Energía Potencial gravitatoria y/o elástica).

3. Euler-Lagrange: La Cantidad de Movimiento Lineal y Angular

Aquí es donde la mecánica analítica revela su poder. Las Ecuaciones de Euler-Lagrange nos permiten deducir los principios de Impulso y Cantidad de Movimiento sin recurrir a diagramas vectoriales, utilizando únicamente el Lagrangiano ($L = T - V$).

La ecuación de Euler-Lagrange para cualquier coordenada generalizada $q_k$ es:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k^{nc} $$

A. Demostración de la Cantidad de Movimiento Lineal

Elijamos como coordenada generalizada la posición del centro de masa en el eje $X$ ($q_1 = x$).

1. Derivamos $L$ respecto a la velocidad lineal $\dot{x}$:
2. $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{1}{2} I_G \dot{\theta}^2 - V \right) = m\dot{x} $$

¡Magia matemática! La derivada del Lagrangiano respecto a la velocidad lineal es exactamente la Cantidad de Movimiento Lineal ($p_x = mv_x$).

1. Sustituimos en la ecuación de Euler-Lagrange (asumiendo que $V$ no depende de $x$, por lo que $\partial L / \partial x = 0$):
2. $$ \frac{d}{dt} (p_x) = Q_x $$
3. Esto demuestra la segunda ley fundamental: La tasa de cambio temporal de la cantidad de movimiento lineal es igual a la fuerza generalizada (el Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento).

B. Demostración de la Cantidad de Movimiento Angular

Elijamos como coordenada generalizada el ángulo de rotación ($q_2 = \theta$).

1. Derivamos $L$ respecto a la velocidad angular $\dot{\theta}$ (o $\omega$):
2. $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \left( \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \dot{\theta}^2 - V \right) = I_G \dot{\theta} $$

La derivada del Lagrangiano respecto a la velocidad angular es exactamente la Cantidad de Movimiento Angular centroidal ($H_G = I_G \omega$).

1. Sustituimos en la ecuación de Euler-Lagrange:
2. $$ \frac{d}{dt} (H_G) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = M_{\theta} $$
3. Si la energía potencial no depende del ángulo ($\partial V / \partial \theta = 0$), obtenemos que la derivada del momento angular es igual al torque aplicado $\frac{d}{dt}(H_G) = M_G$.

El Teorema de Noether (Conservación):

Las ecuaciones anteriores demuestran una regla analítica brutal: Si el Lagrangiano de un sistema no contiene explícitamente una coordenada $q_k$ (coordenada cíclica o ignorable), entonces el momento conjugado $p_k$ se conserva estrictamente a lo largo del tiempo.

Si $L$ no depende de $x$, se conserva el impulso lineal. Si $L$ no depende de $\theta$, se conserva el impulso angular.

4. Demostración de Resolución: El Cilindro Rodante (Sin vectores)

Para comprobar la superioridad del método analítico sobre el vectorial, resolvamos el clásico problema de un cilindro macizo (masa $m$, radio $R$, $I_G = \frac{1}{2}mR^2$) rodando sin deslizar por un plano inclinado de ángulo $\phi$.

En Newton-Euler, tendrías que dibujar la fricción, la normal, el peso, crear tres ecuaciones (una de ellas $M_G = F_f R$) y resolver el sistema acoplado. En Lagrange, el proceso es directo y escalar.

1. Definir la cinemática (Restricciones):
2. Si rueda sin deslizar, el desplazamiento lineal del centro ($x$) y la rotación ($\theta$) están acoplados: $x = R\theta \implies \dot{x} = R\dot{\theta}$.
3. Tenemos solo 1 Grado de Libertad. Usaremos $x$.
4. Energía Cinética ($T$):
5. $$ T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m R^2 \right) \left( \frac{\dot{x}}{R} \right)^2 $$
6. $$ T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{4} m \dot{x}^2 = \frac{3}{4} m \dot{x}^2 $$
7. Energía Potencial ($V$):
8. Fijamos la referencia en el tope. Al bajar una distancia $x$ a lo largo del plano, la altura perdida es $x \sin\phi$.
9. $$ V = -mgx \sin\phi $$
10. El Lagrangiano ($L = T - V$):
11. $$ L = \frac{3}{4} m \dot{x}^2 + mgx \sin\phi $$
12. Aplicar Euler-Lagrange:
13. $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 $$
14. $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{3}{2} m \dot{x} \right) - mg \sin\phi = 0 $$
15. $$ \frac{3}{2} m \ddot{x} = mg \sin\phi $$
16. $$ \ddot{x} = \frac{2}{3} g \sin\phi $$