Matriz de Rigidez Lateral

1. Introducción General

En ingeniería estructural, una de las tareas más importantes es predecir cómo responderá un edificio frente a acciones laterales como:

• Sismos
• Viento
• Explosiones
• Vibraciones dinámicas

A diferencia de las cargas gravitacionales, las cargas laterales producen desplazamientos horizontales, rotaciones y efectos dinámicos complejos que pueden comprometer la estabilidad global de la estructura.

La herramienta matemática fundamental para estudiar este comportamiento es la Matriz de Rigidez Lateral, la cual representa la resistencia que ofrece la estructura frente a desplazamientos horizontales.

2. Concepto Físico de Rigidez

La rigidez es la relación entre una fuerza aplicada y el desplazamiento producido.

Matemáticamente:

$$k=\frac{F}{\Delta}$$

Donde:

• $k$ = rigidez
• $F$ = fuerza aplicada
• $\Delta$ = desplazamiento producido

Mientras mayor sea $k$:

• Menor será el desplazamiento.
• Más rígida será la estructura.

3. Concepto de Grado de Libertad (GDL)

Un grado de libertad es un movimiento independiente posible en la estructura. En un nodo plano existen:

• Traslación horizontal ($u$)
• Traslación vertical ($v$)
• Rotación ($\theta$)

Por tanto, en un sistema bidimensional clásico: GDL por nodo = 3

En edificios multinivel, el número de grados de libertad puede ser enorme.

4. Hipótesis del Diafragma Rígido

Para simplificar el problema se adopta la hipótesis de que la losa es infinitamente rígida en su plano. Esto implica que:

$$u_A=u_B=u_C=u_D$$

Todos los puntos del piso se desplazan igual. Entonces:

• Cada piso tiene un único desplazamiento lateral.
• Se reduce enormemente el tamaño del sistema.

5. Ecuación Fundamental del Método Matricial

La ecuación general del equilibrio estructural es:

$$\{F\}=[K]\{U\}$$

Donde:

• Vector de fuerzas nodales:
• $$\{F\}=\begin{Bmatrix}F_1\\F_2\\\vdots\\F_n\end{Bmatrix}$$
• Vector de desplazamientos:
• $$\{U\}=\begin{Bmatrix}U_1\\U_2\\\vdots\\U_n\end{Bmatrix}$$
• Matriz global de rigidez: $[K]$

6. Interpretación Física de la Matriz de Rigidez

Cada término $K_{ij}$ representa:

La fuerza en el grado de libertad $i$ causada por un desplazamiento unitario en el grado de libertad $j$.

7. Obtención de la Rigidez de una Columna

7.1 Ecuación Diferencial de Flexión

Para una viga-columna:

$$EI\frac{d^4v}{dx^4}=0$$

La solución general es:

$$v(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3$$

Aplicando condiciones de borde para una columna doblemente empotrada (desplazamiento superior $\Delta$ y rotaciones nulas), se obtiene el momento:

$$M=\frac{6EI}{h^2}\Delta$$

Y el cortante:

$$V=\frac{12EI}{h^3}\Delta$$

Por definición ($k=\frac{V}{\Delta}$), finalmente tenemos:

$$k=\frac{12EI}{h^3}$$

8. Significado de Cada Parámetro

En la fórmula:

$$k=\frac{12EI}{h^3}$$

Donde:

• $E$: Módulo de elasticidad
• $I$: Momento de inercia
• $h$: Altura de piso

Observaciones importantes:

• La rigidez aumenta linealmente con $E$.
• La rigidez aumenta linealmente con $I$.
• La rigidez disminuye con el cubo de la altura ($h^3$).

Esto explica por qué los edificios altos son más flexibles y las columnas gruesas aumentan mucho la rigidez.

9. Ensamblaje de la Matriz de Rigidez de un Piso

Si un piso tiene varias columnas:

$$k_i=\sum_{j=1}^{m}\frac{12E_jI_j}{h_i^3}$$

Donde $m$ es el número de columnas del piso.

10. Modelo Tipo Shear Building

En este modelo simplificado:

• Las vigas son infinitamente rígidas.
• Los pisos no rotan.
• Solo existen desplazamientos laterales.

Esto genera un sistema tipo resorte-masa idealizado.

11. Desarrollo Matemático del Edificio de 3 Pisos

11.1 Desplazamientos

$$\{U\}=\begin{Bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{Bmatrix}$$

11.2 Fuerzas Restauradoras

Piso 1

La fuerza depende de la deformación entre el piso 1 y el suelo, y la deformación entre el piso 1 y el piso 2:

$$F_1=k_1u_1+k_2(u_1-u_2)$$

$$F_1=(k_1+k_2)u_1-k_2u_2$$

Piso 2

$$F_2=k_2(u_2-u_1)+k_3(u_2-u_3)$$

$$F_2=-k_2u_1+(k_2+k_3)u_2-k_3u_3$$

Piso 3

$$F_3=k_3(u_3-u_2)$$

$$F_3=-k_3u_2+k_3u_3$$

12. Matriz de Rigidez Lateral Final

Agrupando las ecuaciones anteriores en formato matricial:

$$\begin{Bmatrix}F_1\\F_2\\F_3\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}k_1+k_2 & -k_2 & 0\\-k_2 & k_2+k_3 & -k_3\\0 & -k_3 & k_3\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{Bmatrix}$$

13. Propiedades Matemáticas de la Matriz de Rigidez

13.1 Simetría

$$K_{ij}=K_{ji}$$

Se cumple porque el trabajo interno es conservativo (Teorema de Betti-Maxwell).

13.2 Diagonal Dominante

$$K_{ii}>\sum K_{ij}$$

Garantiza la estabilidad numérica del sistema.

13.3 Definida Positiva

$$\{U\}^T[K]\{U\}>0$$

Representa que la energía de deformación siempre es positiva.

14. Energía de Deformación

La energía almacenada en la estructura es:

$$U=\frac{1}{2}\{U\}^T[K]\{U\}$$

Esta ecuación es fundamental en métodos energéticos, elementos finitos y dinámica estructural.

15. Condensación Estática Completa

15.1 Partición

$$\begin{Bmatrix}F_a\\F_b\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}K_{aa} & K_{ab}\\K_{ba} & K_{bb}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}U_a\\U_b\end{Bmatrix}$$

15.2 Expansión y Solución

$$F_a=K_{aa}U_a+K_{ab}U_b$$

$$F_b=K_{ba}U_a+K_{bb}U_b$$

Como no hay fuerzas externas en los grados de libertad condensados, $F_b=0$:

$$K_{bb}U_b=-K_{ba}U_a$$

$$U_b=-K_{bb}^{-1}K_{ba}U_a$$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$$F_a=\left(K_{aa}-K_{ab}K_{bb}^{-1}K_{ba}\right)U_a$$

Finalmente, la matriz de rigidez lateral condensada es:

$$K_{lat}=K_{aa}-K_{ab}K_{bb}^{-1}K_{ba}$$

16. Relación con la Dinámica Estructural

La ecuación dinámica general es:

$$[M]\{\ddot{U}\}+[C]\{\dot{U}\}+[K]\{U\}=\{P(t)\}$$

Donde:

• $[M]$: Matriz de masas
• $[C]$: Matriz de amortiguamiento
• $[K]$: Matriz de rigidez
• $\{P(t)\}$: Carga dinámica/sísmica

17. Vibración Libre No Amortiguada

Sin amortiguamiento y sin carga externa:

$$[M]\{\ddot{U}\}+[K]\{U\}=0$$

Asumiendo una solución armónica:

$$\{U\}=\{\phi\}\sin(\omega t)$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

$$([K]-\omega^2[M])\{\phi\}=0$$

Para obtener soluciones no triviales (que no sean cero):

$$\det([K]-\omega^2[M])=0$$

18. Significado de los Valores Propios

• Frecuencia natural ($\omega$):
• $$\omega=\frac{2\pi}{T}$$
• Período natural ($T$):
• $$T=\frac{2\pi}{\omega}$$

19. Formas Modales

Los vectores propios $\{\phi\}$ representan cómo vibra el edificio.

• Primer modo: Desplazamiento global.
• Segundo modo: Curvatura intermedia.
• Tercer modo: Deformaciones complejas.

20. Importancia en Ingeniería Sísmica

La matriz de rigidez lateral permite determinar con precisión:

• Derivas de piso
• Cortantes sísmicos
• Modos de vibración
• Períodos naturales
• Fuerzas internas
• Distribución de rigidez
• Torsión estructural

21. Interpretación Física Importante

• Si la rigidez aumenta:
• $$K \uparrow \Rightarrow T \downarrow$$
• (El edificio vibra más rápido).
• Si la masa aumenta:
• $$M \uparrow \Rightarrow T \uparrow$$
• (El edificio vibra más lento).

22. Relación con Elementos Finitos

La matriz de rigidez lateral es una reducción de la matriz global obtenida mediante el Método de Elementos Finitos (FEM) o el Método matricial de desplazamientos.

Cada elemento aporta una submatriz $[K_e]$ y el ensamblaje de todas ellas produce la matriz global $[K]$.

23. Consideraciones Reales de Diseño

En el análisis y diseño de edificios reales, la matriz teórica debe ajustarse considerando:

• Agrietamiento del hormigón.
• Interacción suelo-estructura.
• Efectos de segundo orden ($P-\Delta$).
• Rigidez efectiva de los elementos.
• Amortiguamiento del material y del sistema.
• Irregularidades torsionales en planta y elevación.
• Comportamiento de diafragmas semirrígidos.

24. Conclusión Técnica

La Matriz de Rigidez Lateral constituye el núcleo matemático del análisis sísmico moderno. Gracias a ella es posible transformar una estructura real compleja en un modelo matemático robusto capaz de predecir desplazamientos, vibraciones, fuerzas internas, comportamiento dinámico y asegurar la estabilidad estructural ante solicitaciones extremas.