Fuerzas que ejercen los fluidos sobre superficies sumergidas

1. Fuerzas de Presión sobre Superficies Planas

Cuando una superficie plana está sumergida en un fluido en reposo, el fluido ejerce una presión que actúa perpendicularmente a cada punto de la placa. Como la presión aumenta con la profundidad ($P = \gamma h$), la fuerza no se distribuye de manera uniforme; es mayor en la parte inferior de la placa que en la superior.

Deducción matemática analítica:

Consideremos una placa plana de área $A$ sumergida con un ángulo de inclinación $\theta$ respecto a la superficie libre del líquido.

• Sea $y$ la distancia medida a lo largo del plano de la inclinación desde la superficie libre.
• La profundidad vertical de cualquier elemento de área $dA$ es $h = y \sin \theta$.
• La presión sobre el elemento diferencial es $P = \gamma h = \gamma y \sin \theta$.
• La fuerza diferencial es $dF = P \, dA = \gamma y \sin \theta \, dA$.

Para encontrar la fuerza resultante total ($F_R$), integramos sobre toda el área:

$$ F_R = \int_A \gamma y \sin \theta \, dA = \gamma \sin \theta \int_A y \, dA $$

En estática, la integral $\int_A y \, dA$ es el primer momento de área, que es igual a $y_c \cdot A$, donde $y_c$ es la coordenada del centroide o centro de gravedad (CG) del área.

Sustituyendo esto:

$$ F_R = \gamma \sin \theta (y_c A) = \gamma (y_c \sin \theta) A $$

Sabiendo que la profundidad vertical del centroide es $h_c = y_c \sin \theta$, llegamos a la ecuación general:

$$ F_R = \gamma h_c A = P_c A $$

Conclusión: La magnitud de la fuerza resultante sobre una superficie plana sumergida es igual a la presión en el centroide de la superficie multiplicada por el área total, independientemente de la inclinación.

2. Centro de Presión (CP)

Aunque la fuerza resultante se calcula usando el centroide (CG), la fuerza no se aplica en el centroide. Dado que la presión es mayor en la parte inferior, la fuerza resultante "empuja" en un punto más profundo llamado Centro de Presión (CP).

Deducción de su ubicación ($y_{cp}$):

Para hallar este punto, aplicamos el teorema de momentos (Teorema de Varignon): El momento de la fuerza resultante respecto a un eje debe ser igual a la suma de los momentos de las fuerzas distribuidas.

$$ F_R \cdot y_{cp} = \int_A (y) dF = \int_A y (\gamma y \sin \theta dA) $$

$$ F_R \cdot y_{cp} = \gamma \sin \theta \int_A y^2 dA $$

La integral $\int_A y^2 dA$ es el segundo momento de área o momento de inercia ($I_x$) respecto al eje de la superficie libre.

$$ F_R \cdot y_{cp} = \gamma \sin \theta I_x $$

Sustituyendo $F_R = \gamma \sin \theta y_c A$ y despejando $y_{cp}$:

$$ y_{cp} = \frac{I_x}{y_c A} $$

Usando el Teorema de los Ejes Paralelos (Steiner), $I_x = I_{xc} + A y_c^2$, donde $I_{xc}$ es el momento de inercia respecto al eje centroidal. Sustituyendo:

$$ y_{cp} = \frac{I_{xc} + A y_c^2}{y_c A} = y_c + \frac{I_{xc}}{y_c A} $$

Esta fórmula demuestra que el Centro de Presión ($y_{cp}$) siempre está por debajo del Centroide ($y_c$), ya que el término $\frac{I_{xc}}{y_c A}$ siempre es positivo.

3. Casos Particulares y Prisma de Presiones

Caso particular: Placa plana horizontal

Si la placa está completamente horizontal, el ángulo $\theta = 0$. La profundidad $h$ es constante para todos los puntos.

• Fuerza: $F = P \cdot A = \gamma h A$.
• Centro de Presión: Como la presión es uniforme, el Centro de Presión (CP) coincide exactamente con el Centroide (CG).

Deducción alternativa: El Prisma de Presiones (Placa inclinada de geometría regular)

El prisma de presiones es una visualización geométrica del campo de presiones. Si dibujamos vectores de presión normales a la placa en cada punto, estos vectores forman un volumen tridimensional.

1. Magnitud de la Fuerza: La fuerza resultante $F_R$ es geométricamente igual al volumen de este prisma de presiones.
2. $$ Volumen = \text{Base (Área de la placa)} \times \text{Altura promedio (Presión en el centroide)} $$
3. Línea de acción: La fuerza resultante pasa exactamente por el centroide volumétrico de este prisma 3D.
4. Para una placa rectangular inclinada que llega hasta la superficie libre, el prisma es una cuña triangular. El centroide de un triángulo está a 2/3 de su vértice, por lo que el Centro de Presión estará a 2/3 de la profundidad.

4. Fuerzas sobre Superficies Curvas

En una superficie curva, la presión siempre actúa perpendicularmente, por lo que la dirección de la fuerza diferencial cambia continuamente. No existe una fórmula analítica simple para la fuerza resultante total, por lo que el problema se resuelve descomponiendo la fuerza en sus componentes ortogonales: horizontal y vertical.

Componente Horizontal ($F_H$)

La fuerza horizontal que un fluido ejerce sobre una superficie curva es idéntica a la fuerza que ejercería sobre la proyección vertical plana de esa superficie curva.

• Magnitud: $F_H = \gamma h_c A_{proy}$ (donde $h_c$ es la profundidad del centroide de la proyección plana).
• Línea de acción: Pasa por el centro de presión de la proyección plana vertical.

Componente Vertical ($F_V$)

La fuerza vertical actúa sobre la superficie curva en función de la columna de fluido que soporta.

• Magnitud: Es igual al peso del volumen real o imaginario de líquido que se encuentra directamente por encima de la superficie curva, extendiéndose hasta la superficie libre del líquido.
• $$ F_V = \gamma \cdot \text{Volumen} $$
• Línea de acción: Pasa por el centroide de ese volumen de líquido.

5. Tensión Superficial y Capilaridad

Estos fenómenos dominan a microescala, en tubos muy delgados o en las interfaces entre fluidos.

Tensión Superficial ($\sigma$)

En el seno de un líquido, las moléculas se atraen mutuamente en todas direcciones (cohesión). Sin embargo, en la superficie (interfaz líquido-gas), las moléculas no tienen líquido por encima, generando una fuerza neta hacia el interior que hace que la superficie actúe como una membrana elástica tensa.

• Concepto: Es el trabajo necesario para aumentar el área de la superficie, o la fuerza por unidad de longitud a lo largo de una línea en la superficie.
• Fórmula (Gota esférica): Para equilibrar la tensión superficial en una gota de radio $R$, se genera un exceso de presión interna ($\Delta P$):
• $$ \Delta P = \frac{2\sigma}{R} $$

Capilaridad

Es la elevación o descenso de un líquido en un tubo de diámetro pequeño (capilar) debido a la interacción entre las fuerzas de cohesión (líquido-líquido) y adhesión (líquido-sólido).

• Si la adhesión > cohesión (ej. agua en vidrio), el líquido "moja" la pared, forma un menisco cóncavo y sube.
• Si la cohesión > adhesión (ej. mercurio en vidrio), el líquido no moja, forma un menisco convexo y baja.
• Fórmula (Ley de Jurin): La altura $h$ de la columna capilar se deduce igualando el peso de la columna cilíndrica levantada con la componente vertical de la fuerza de tensión superficial perimetral.
• $$ h = \frac{2\sigma \cos \theta_c}{\rho g R} $$
• (Donde $\theta_c$ es el ángulo de contacto, $\sigma$ la tensión superficial, $\rho$ la densidad, $g$ la gravedad y $R$ el radio del tubo).