FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES: VIGAS

Para que una viga soporte cargas externas (peso propio, viento, sismos, mobiliario) sin colapsar, el material interior debe desarrollar fuerzas de resistencia que contrarresten exactamente esas cargas externas. Estas son las Fuerzas Internas.

1. Concepto de Fuerzas Internas

Cuando sometemos un elemento estructural a cargas externas, internamente se generan sistemas de fuerzas tridimensionales en cada sección transversal. En el análisis bidimensional de vigas planas, este sistema se reduce a tres componentes fundamentales actuando en el centroide de la sección:

1. Fuerza Axial o Normal ($N$): Actúa perpendicular a la sección transversal. Tiende a alargar (tensión) o acortar (compresión) el elemento.
2. Fuerza Cortante ($V$): Actúa tangente a la sección transversal. Es la resistencia del material a que una rebanada de la viga "resbale" o se deslice verticalmente respecto a la rebanada adyacente.
3. Momento Flector ($M$): Es el par de fuerzas interno que resiste la tendencia de la viga a curvarse o flexionarse.

2. Método de Seccionamiento

El método de seccionamiento es la aplicación pura del principio de equilibrio de Newton al interior de un cuerpo.

Principio fundamental: Si una viga completa está en equilibrio estático, entonces cualquier segmento aislado de esa viga también debe estar en equilibrio estático.

Procedimiento Matemático:

1. Cálculo de Reacciones: Aplicar las ecuaciones globales ($\sum F = 0$, $\sum M = 0$) para hallar las reacciones en los apoyos.
2. El Corte Imaginario: Se realiza un corte en la coordenada $x$ de la viga. Se desecha una de las mitades.
3. Exposición de Fuerzas: En la cara "desnuda" del corte, se exponen las incógnitas internas ($N, V, M$).
4. Equilibrio del Segmento: Se aplican nuevamente las ecuaciones de la estática solo a ese segmento cortado para encontrar las funciones $N(x), V(x)$ y $M(x)$.

La Convención de Signos Estándar (Crucial para Ingeniería Civil):

Para que los diagramas de cortante y momento tengan sentido físico en el diseño, se utiliza una convención universal:

• Cortante Positivo ($+V$): Tiende a hacer rotar el segmento de viga en sentido horario. (Si miras la cara derecha de un corte, $V$ apunta hacia abajo; si miras la cara izquierda, $V$ apunta hacia arriba).
• Momento Positivo ($+M$): Tiende a curvar la viga hacia arriba, dándole forma de "sonrisa". Esto genera compresión en las fibras superiores y tensión en las fibras inferiores. (Si miras la cara derecha, el momento es antihorario).
• Axial Positiva ($+N$): Siempre se asume saliendo de la sección (Tensión).

3. Relaciones Diferenciales (Demostración de Carga, Cortante y Momento)

Para trazar diagramas sin tener que hacer infinitos cortes, utilizamos el cálculo diferencial. Analicemos un elemento de viga infinitesimal de longitud $dx$ sometido a una carga distribuida hacia abajo $w(x)$.

A. Relación entre Carga y Fuerza Cortante:

Aplicamos suma de fuerzas verticales al elemento diferencial $dx$:

$$ \sum F_y = 0 $$

$$ V - w(x)dx - (V + dV) = 0 $$

Simplificando, las $V$ se cancelan:

$$ -dV = w(x)dx \implies \frac{dV}{dx} = -w(x) $$

Teorema 1: La pendiente del diagrama de fuerza cortante en cualquier punto es igual al valor negativo de la carga distribuida en ese punto.

B. Relación entre Cortante y Momento Flector:

Aplicamos suma de momentos respecto al extremo derecho del elemento diferencial $dx$:

$$ \sum M = 0 $$

$$ -M - V(dx) + w(x)dx \left(\frac{dx}{2}\right) + (M + dM) = 0 $$

El término $w(x)\frac{(dx)^2}{2}$ es un diferencial de segundo orden infinitesimalmente pequeño, por lo que tiende a cero y se desprecia en el límite. Las $M$ se cancelan:

$$ -V(dx) + dM = 0 \implies \frac{dM}{dx} = V(x) $$

Teorema 2: La pendiente del diagrama de momento flector en cualquier punto es exactamente igual al valor de la fuerza cortante en ese mismo punto.

Corolario (Momento Máximo):

En cálculo, los máximos locales de una función ocurren donde su derivada es cero. Dado que $dM/dx = V$, el momento flector máximo (o mínimo) ocurrirá en la coordenada exacta donde el diagrama de fuerza cortante cruce el eje cero ($V = 0$).

4. Diagramas de Cortante y Momento Flector (DFC y DMF)

Los diagramas son la representación gráfica de las funciones $V(x)$ y $M(x)$ a lo largo del eje longitudinal de la viga. Indican a simple vista dónde la estructura es más vulnerable y dónde se debe colocar el refuerzo de acero o aumentar el peralte de la sección transversal.

Integración y Áreas (El Método Gráfico):

A partir de las ecuaciones diferenciales demostradas arriba, podemos integrar para encontrar los valores acumulados.

Para el cortante:

$$ \int_{V_1}^{V_2} dV = -\int_{x_1}^{x_2} w(x) dx $$

$$ \Delta V = V_2 - V_1 = - (\text{Área bajo la curva de la carga distribuida}) $$

Para el momento:

$$ \int_{M_1}^{M_2} dM = \int_{x_1}^{x_2} V(x) dx $$

$$ \Delta M = M_2 - M_1 = (\text{Área bajo el diagrama de fuerza cortante}) $$

Reglas Prácticas para Trazado Rápido:

Estas reglas nacen de integrar polinomios (aumentar un grado por cada paso):

1. Carga Nula ($w = 0$):

• Cortante es constante (línea horizontal de grado 0).
• Momento es lineal (línea inclinada de grado 1).

1. Carga Distribuida Uniforme ($w = \text{cte}$):

• Cortante es lineal (línea inclinada de grado 1).
• Momento es parabólico (curva de grado 2).

1. Carga Distribuida Triangular ($w = f(x)$):

• Cortante es parabólico (curva de grado 2).
• Momento es cúbico (curva de grado 3).

1. Carga Puntual ($P$):

• Provoca un "salto" o discontinuidad vertical abrupta en el diagrama de Cortante igual a la magnitud de la fuerza.

1. Momento Concentrado ($M_0$):

• Provoca un salto vertical abrupto únicamente en el diagrama de Momento Flector. No afecta al diagrama de cortante.