FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS: CABLES

1. Simplificación del Estudio y Análisis (Hipótesis Fundamentales)

Analizar un cable real con rigidez a la flexión sería matemáticamente exhaustivo. Para el diseño estructural de ingeniería, aplicamos las siguientes hipótesis simplificatorias que definen a un cable ideal:

1. Flexibilidad Perfecta: Se asume que el cable es perfectamente flexible, lo que significa que no ofrece ninguna resistencia a la flexión ni al corte. Matemáticamente, el momento flector ($M$) y la fuerza cortante ($V$) son siempre cero en cualquier sección transversal del cable.
2. Fuerza Interna Exclusiva: Como corolario de la hipótesis anterior, la única fuerza interna que puede existir en un cable es una fuerza axial de Tensión ($T$).
3. Tangencia: La fuerza de tensión interna en cualquier punto del cable siempre actúa en una dirección estrictamente tangente a la curva que describe el cable en ese punto.
4. Inextensibilidad: Salvo que el problema pida explícitamente calcular la deformación elástica, se asume que la longitud del cable permanece constante bajo carga.

2. Análisis de Cables Sujetos a Cargas Concentradas

Cuando un cable soporta cargas puntuales (como semáforos colgados o cargas aplicadas a través de tirantes verticales fijos), el cable adopta la forma de una serie de segmentos rectos unidos en los puntos de aplicación de la carga. Esto se conoce como polígono funicular.

Metodología de Análisis:

Dado que el cable está formado por tramos rectos, cada tramo se comporta como un elemento sujeto a dos fuerzas (pura tensión colineal a la barra). El sistema se resuelve aplicando las ecuaciones de equilibrio estático de manera similar al Método de los Nodos en las armaduras.

1. Equilibrio Global: Se aplican $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ y $\sum M = 0$ tomando toda la estructura como un cuerpo rígido para hallar las reacciones en los apoyos. Un dato crítico es conocer la "flecha" (caída o sag) de al menos un punto para poder resolver el sistema isostático.
2. Equilibrio de Nodos: Se aísla cada punto de aplicación de carga. En el nodo $i$, la suma vectorial de la tensión del cable que entra, la tensión del cable que sale y la carga aplicada $\vec{P}_i$ debe formar un polígono cerrado (resultante cero).

3. Caso de Cables que Soportan Cargas Distribuidas

Cuando el cable soporta una carga continua (como su propio peso o la cubierta de un puente), el cable ya no forma segmentos rectos, sino que adopta una curva continua.

Demostración de la Ecuación Diferencial General:

Consideremos un punto $O$ en la parte más baja del cable (donde la tangente es horizontal) y un punto genérico $P$ a una distancia $x$.

• En el punto más bajo $O$, la tensión es puramente horizontal y la llamaremos $T_0$.
• En el punto $P$, la tensión es $T$ y forma un ángulo $\theta$ con la horizontal.
• El tramo de cable entre $O$ y $P$ soporta una carga distribuida total descendente igual a $W$.

Si aplicamos equilibrio a este segmento infinitesimal:

• $\sum F_x = 0 \implies T \cos\theta - T_0 = 0 \implies T \cos\theta = T_0$ (La componente horizontal de la tensión es constante en toda la longitud del cable).
• $\sum F_y = 0 \implies T \sin\theta - W = 0 \implies T \sin\theta = W$

Dividiendo la ecuación de $Y$ entre la de $X$:

$$ \frac{T \sin\theta}{T \cos\theta} = \frac{W}{T_0} $$

$$ \tan\theta = \frac{W}{T_0} $$

Sabemos por cálculo diferencial que la tangente del ángulo de una curva es su derivada ($\tan\theta = \frac{dy}{dx}$). Por lo tanto, obtenemos la Ecuación Diferencial Fundamental del Cable:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{W(x)}{T_0} $$

Dependiendo de cómo se distribuya la carga $W$, esta ecuación diferencial dará origen a dos geometrías distintas: el Cable Parabólico o la Catenaria.

4. El Cable Parabólico

Concepto: Ocurre cuando la carga distribuida es uniforme a lo largo de la proyección horizontal ($x$).

• Aplicación real: Puentes colgantes. El peso del tablero vial es constante a lo largo del puente y es mucho mayor que el peso del propio cable.

Demostración y Fórmulas:

Si la carga horizontal es $w_0$ (ej. $kN/m$), la carga total $W$ desde el origen hasta $x$ es simplemente $W = w_0 \cdot x$.

Sustituyendo en la ecuación fundamental:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{w_0 \cdot x}{T_0} $$

Integrando con respecto a $x$ (asumiendo que el origen $O$ está en el punto más bajo, $x=0, y=0$):

$$ y = \int \frac{w_0 \cdot x}{T_0} dx $$

$$ y = \frac{w_0 \cdot x^2}{2 T_0} $$

Esta es la demostración analítica de que el cable adopta la geometría exacta de una parábola.

Cálculo de Tensiones:

• La tensión mínima ocurre en el punto más bajo: $T_{min} = T_0$.
• La tensión en cualquier punto se halla por Pitágoras: $T = \sqrt{T_0^2 + W^2} = \sqrt{T_0^2 + (w_0 \cdot x)^2}$.
• La tensión máxima ($T_{max}$) ocurre en el soporte más alto (mayor valor de $x$).

5. La Catenaria

Concepto: Ocurre cuando la carga distribuida es uniforme a lo largo de la propia longitud del arco del cable ($s$).

• Aplicación real: Cables de alta tensión, cadenas colgantes, líneas de transmisión. Aquí no hay puente que sostener; el cable solo soporta su propio peso.

Demostración y Fórmulas:

Si el peso del cable por unidad de longitud es $w_0$, la carga total sobre un arco de longitud $s$ es $W = w_0 \cdot s$.

Sustituyendo en la ecuación fundamental:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{w_0 \cdot s}{T_0} $$

Para resolver esto, necesitamos relacionar la longitud de arco $s$ con las coordenadas $x, y$. Por cálculo:

$$ ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} \implies \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} $$

Derivando la ecuación fundamental respecto a $x$:

$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w_0}{T_0} \frac{ds}{dx} $$

Sustituyendo el diferencial de arco, obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no lineal:

$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w_0}{T_0} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} $$

Para simplificar, los matemáticos definen una constante geométrica $c = \frac{T_0}{w_0}$. La resolución de esta integral (mediante sustitución trigonométrica hiperbólica) da como resultado la ecuación de la Curva Catenaria:

$$ y = c \cdot \cosh\left(\frac{x}{c}\right) - c $$

(Nota: $\cosh$ es el coseno hiperbólico).

Relaciones Vitales de la Catenaria:

Si desplazamos el eje $X$ hacia abajo una distancia $c$ (definiendo un nuevo eje directriz), la matemática de la catenaria se vuelve extraordinariamente elegante:

1. Ordenada absoluta: $y = c \cdot \cosh\left(\frac{x}{c}\right)$
2. Longitud de arco: $s = c \cdot \sinh\left(\frac{x}{c}\right)$
3. Tensión en cualquier punto: Sorprendentemente, la tensión total en cualquier punto es proporcional a su altura $y$ medida desde la nueva directriz:
4. $$ T = w_0 \cdot y $$
5. Esto demuestra que $T_{max}$ siempre se ubica en el soporte más alto y es igual a $w_0 \cdot y_{max}$.