Flujo Viscoso en Conductos Cerrados: Teoría y Distribución de Velocidad

1. Viscosidad y Régimen de Flujo: El Número de Reynolds

La viscosidad ($\mu$) es la resistencia interna de un fluido a deformarse o fluir. Cuando el fluido se mueve por una tubería, la viscosidad es responsable de frenar las capas de fluido que están en contacto con las paredes sólidas (condición de no deslizamiento).

El comportamiento macroscópico de este flujo está gobernado por la competencia entre dos tipos de fuerzas:

1. Fuerzas Inerciales ($\rho V^2 L^2$): Mantienen el movimiento hacia adelante y tienden a desordenar el flujo.
2. Fuerzas Viscosas ($\mu V L$): Tienden a amortiguar las perturbaciones y mantener el flujo ordenado en capas.

La relación entre ambas fuerzas define el parámetro adimensional más importante en tuberías: el Número de Reynolds ($Re$).

$$ Re = \frac{\rho \cdot V \cdot D}{\mu} = \frac{V \cdot D}{\nu} $$

(Donde $\rho$ es densidad, $V$ velocidad media, $D$ diámetro interno de la tubería, $\mu$ viscosidad dinámica y $\nu$ viscosidad cinemática).

Caracterización del flujo:

• Flujo Laminar ($Re \lesssim 2300$): Las fuerzas viscosas dominan. Las partículas de fluido se mueven en trayectorias suaves, paralelas y en capas (láminas), sin mezcla transversal.
• Régimen de Transición ($2300 < Re < 4000$): El flujo fluctúa de manera impredecible entre laminar y turbulento.
• Flujo Turbulento ($Re \gtrsim 4000$): Las fuerzas inerciales dominan. El fluido exhibe fluctuaciones caóticas de velocidad y alta mezcla transversal mediante remolinos (vórtices).

2. Estabilización del Flujo: Longitud de Desarrollo de la Capa Límite

Cuando un fluido entra a una tubería desde un gran tanque, asumiendo una entrada redondeada, el perfil de velocidad inicial es casi uniforme y plano. Sin embargo, debido a la fricción viscosa, la capa de fluido en contacto con la pared se frena hasta tener velocidad cero.

1. Capa Límite: Este freno se transmite a las capas adyacentes, creando una región cerca de la pared donde la velocidad varía (la capa límite).
2. Aceleración Central: Para satisfacer la ecuación de continuidad (el caudal debe ser constante), a medida que el fluido cerca de las paredes se frena, el núcleo central (fuera de la capa límite) debe acelerarse.
3. Estabilización: Las capas límites de todas las paredes crecen hacia adentro hasta encontrarse en el centro de la tubería. A partir de ese punto, el perfil de velocidades deja de cambiar.

• Región de flujo en desarrollo: La distancia desde la entrada hasta donde se unen las capas límites se llama Longitud de Entrada ($L_e$).
• Flujo completamente desarrollado: La región más allá de $L_e$, donde el perfil de velocidad es constante en la dirección del flujo ($\frac{\partial u}{\partial x} = 0$).

Fórmulas empíricas para la longitud de desarrollo:

• Laminar: $L_e \approx 0.05 \cdot Re \cdot D$
• Turbulento: $L_e \approx 1.35 \cdot Re^{1/4} \cdot D \quad \text{o, en la práctica, } L_e \approx 10D \text{ a } 40D$. (En flujo turbulento, la capa límite crece más rápido debido a la intensa mezcla).

3. Distribución de Velocidad: Flujo Permanente e Incompresible

Para un flujo completamente desarrollado, podemos deducir la distribución general del esfuerzo cortante ($\tau$) realizando un balance de fuerzas.

Consideremos un elemento de fluido cilíndrico de radio $r$ y longitud $dx$ ubicado en el centro de una tubería horizontal de radio $R$. El flujo es permanente (no hay aceleración).

• Fuerza de presión aguas arriba: $P \cdot (\pi r^2)$
• Fuerza de presión aguas abajo: $-(P + dP) \cdot (\pi r^2)$
• Fuerza de fricción en la superficie exterior del elemento: $-\tau \cdot (2\pi r dx)$

Igualando a cero ($\sum F = 0$):

$$ P \pi r^2 - (P + dP) \pi r^2 - \tau 2 \pi r dx = 0 $$

$$ -dP \pi r^2 = \tau 2 \pi r dx $$

$$ \tau = \frac{r}{2} \left( -\frac{dP}{dx} \right) $$

Conclusión fundamental: Sin importar si el flujo es laminar o turbulento, el esfuerzo cortante ($\tau$) varía linealmente con el radio: es cero en el centro ($r=0$) y máximo en la pared ($\tau_w$ en $r=R$).

4. Perfil de Velocidad en Flujo Laminar Completamente Desarrollado

En régimen laminar, las partículas fluyen suavemente. La fricción se modela usando la Ley de Viscosidad de Newton:

$$ \tau = -\mu \frac{du}{dr} $$

(El signo negativo se debe a que la velocidad $u$ disminuye a medida que el radio $r$ aumenta).

Sustituyendo esto en la ecuación de esfuerzo cortante general:

$$ -\mu \frac{du}{dr} = \frac{r}{2} \left( -\frac{dP}{dx} \right) $$

Separando variables e integrando:

$$ du = -\frac{1}{2\mu} \left( -\frac{dP}{dx} \right) r dr $$

$$ u(r) = -\frac{1}{4\mu} \left( -\frac{dP}{dx} \right) r^2 + C $$

Aplicamos la condición de borde (no deslizamiento): En la pared ($r=R$), la velocidad es cero ($u=0$).

$$ 0 = -\frac{1}{4\mu} \left( -\frac{dP}{dx} \right) R^2 + C \implies C = \frac{1}{4\mu} \left( -\frac{dP}{dx} \right) R^2 $$

Sustituyendo $C$, obtenemos la Ecuación de Poiseuille para el perfil de velocidad laminar:

$$ u(r) = \frac{R^2}{4\mu} \left( -\frac{dP}{dx} \right) \left[ 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2 \right] $$

Demostraciones clave del flujo laminar:

• Geometría: El perfil de velocidad es una parábola exacta.
• Velocidad máxima: Ocurre en el centro ($r=0$).
• $$ u_{max} = \frac{R^2}{4\mu} \left( -\frac{dP}{dx} \right) $$
• Velocidad media ($V$): Evaluando el caudal total y dividiendo por el área, se demuestra que en flujo laminar, la velocidad media es exactamente la mitad de la máxima:
• $$ V = \frac{u_{max}}{2} $$

5. Perfil de Velocidad en Flujo Turbulento Completamente Desarrollado

En flujo turbulento, el movimiento fluido es caótico. Los remolinos transportan masa e impulso transversalmente de forma muy agresiva. Esto crea un efecto "aplanador" en el perfil de velocidades: el centro de la tubería fluye casi a una misma velocidad uniforme, y hay una caída de velocidad sumamente brusca muy cerca de la pared (en la llamada subcapa viscosa).

Debido a su complejidad estocástica, no existe una deducción puramente analítica. Se utilizan leyes empíricas. La más común para diseño de tuberías es la Ley de la Potencia (Ley de Prandtl):

$$ \frac{u(r)}{u_{max}} = \left( 1 - \frac{r}{R} \right)^{1/n} = \left( \frac{y}{R} \right)^{1/n} $$

(Donde $y = R - r$ es la distancia medida desde la pared de la tubería).

Consideraciones del flujo turbulento:

• El exponente $n$ depende del Número de Reynolds.
• Para $Re \approx 10^5$, el valor típico es $n=7$, conociéndose ampliamente como el perfil de la séptima potencia. Si $Re$ aumenta (ej. $10^8$), $n$ sube a 10, haciendo el perfil aún más chato.
• Velocidad media ($V$): Integrando este perfil, se demuestra que:
• $$ V = \frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)} u_{max} $$
• Para $n=7$, la velocidad media $V \approx 0.817 u_{max}$. Es decir, a diferencia del flujo laminar (donde es el 50%), en turbulento la velocidad media es más del 80% de la velocidad central.