Fluidos sometidos a aceleración constante: Equilibrio relativo

El estudio de fluidos sometidos a aceleración constante (ya sea lineal o angular) se conoce como Equilibrio Relativo o Movimiento de Cuerpo Rígido en fluidos.

En estas condiciones, aunque el fluido en su totalidad se está moviendo respecto a un sistema de referencia fijo exterior, las partículas del fluido no se mueven unas respecto de otras. Como no hay movimiento relativo entre las capas del fluido, no existen esfuerzos cortantes ($\tau = 0$), y el fluido se comporta exactamente como un cuerpo sólido rígido.

La ecuación general de la estática de fluidos $\nabla P = \rho \vec{g}$ se generaliza incorporando la aceleración del sistema mediante la Segunda Ley de Newton, resultando en:

$$ \nabla P = \rho(\vec{g} - \vec{a}) $$

A continuación, analizaremos los dos casos clásicos de este fenómeno.

1. Traslación de masas fluidas sometidas a aceleración constante

Concepto:

Imagina un tanque de agua sobre la plataforma de un camión. Si el camión acelera hacia adelante con una aceleración constante $a_x$, el agua inicialmente chapoteará, pero luego de unos segundos, adoptará una nueva posición estática respecto al tanque. La superficie libre del líquido dejará de ser horizontal y se inclinará formando un ángulo $\theta$.

Demostración matemática:

Consideremos un elemento diferencial de masa en un sistema de coordenadas donde el eje $x$ es horizontal y el eje $z$ es vertical (positivo hacia arriba). El tanque tiene una aceleración horizontal $a_x$ y una aceleración vertical $a_z$.

La variación de presión en cualquier punto del fluido obedece a las aceleraciones en cada eje:

1. En el eje $x$: La fuerza neta produce aceleración masiva. $\frac{\partial P}{\partial x} = -\rho a_x$
2. En el eje $z$: Actúa la gravedad y la aceleración vertical. $\frac{\partial P}{\partial z} = -\rho (g + a_z)$

La diferencial total exacta para la presión $P(x,z)$ es:

$$ dP = \frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial z} dz $$

$$ dP = -\rho a_x dx - \rho (g + a_z) dz $$

Superficies Isobáricas y Superficie Libre:

Una superficie isobárica es aquella donde la presión es constante (como la superficie libre expuesta a la atmósfera). En estas superficies, $dP = 0$.

Igualando a cero la ecuación anterior:

$$ 0 = -\rho a_x dx - \rho (g + a_z) dz $$

$$ \rho (g + a_z) dz = -\rho a_x dx $$

Al despejar la pendiente de la superficie ($\frac{dz}{dx}$), que geométricamente representa la tangente del ángulo de inclinación $\theta$, obtenemos la fórmula fundamental:

$$ \frac{dz}{dx} = -\frac{a_x}{g + a_z} = -\tan \theta $$

• Caso común (solo aceleración horizontal): Si $a_z = 0$, la pendiente de la superficie libre es constante e igual a $\tan \theta = a_x / g$. La superficie es un plano inclinado. El signo negativo indica que la superficie desciende en la dirección de la aceleración.
• Aceleración puramente vertical: Si $a_x = 0$, la superficie se mantiene horizontal ($\tan \theta = 0$), pero la presión hidrostática cambia. El peso aparente del fluido aumenta si acelera hacia arriba, y disminuye si acelera hacia abajo (caída libre).

2. Rotación de masas fluidas con velocidad angular constante

Concepto:

Si colocamos un recipiente cilíndrico con líquido sobre una mesa giratoria y lo hacemos rotar a una velocidad angular constante $\omega$ (rad/s), el líquido inicialmente se ve arrastrado por la fricción de las paredes. Eventualmente, todo el fluido girará a la misma velocidad $\omega$ que el tanque. En este punto de equilibrio relativo, la superficie libre deja de ser plana y forma un cuenco hundido en el centro: un paraboloide de revolución.

Demostración matemática:

Para este análisis, utilizamos coordenadas cilíndricas ($r, z$). La única aceleración que experimentan las partículas es la aceleración centrípeta dirigida hacia el eje de rotación.

• Aceleración radial: $a_r = -r \omega^2$
• Aceleración vertical: $a_z = 0$ (solo actúa la gravedad).

Las variaciones parciales de presión son:

1. En dirección radial: $\frac{\partial P}{\partial r} = \rho(0 - a_r) = \rho r \omega^2$ (La presión aumenta hacia las paredes debido a la fuerza centrífuga).
2. En dirección vertical: $\frac{\partial P}{\partial z} = -\rho g$

La diferencial total de la presión $P(r,z)$ es:

$$ dP = \frac{\partial P}{\partial r} dr + \frac{\partial P}{\partial z} dz = \rho r \omega^2 dr - \rho g dz $$

Para hallar la forma de la superficie libre (isobárica, donde $dP = 0$):

$$ \rho g dz = \rho r \omega^2 dr \implies dz = \frac{\omega^2}{g} r dr $$

Integrando esta ecuación de ambos lados para hallar la altura $z$ en función del radio $r$:

$$ \int dz = \frac{\omega^2}{g} \int r dr $$

$$ z = \frac{\omega^2 r^2}{2g} + C $$

Donde $C$ es la altura del fluido en el centro del recipiente ($r=0$), denotémosla como $h_c$. La ecuación del paraboloide de revolución es:

$$ z(r) = h_c + \frac{\omega^2 r^2}{2g} $$

Conservación del Volumen y Propiedad del Paraboloide:

Geométricamente, el volumen de un paraboloide es exactamente la mitad del volumen del cilindro circunscrito que lo contiene. Debido a que el volumen de agua en el tanque no cambia antes ni después de girar, se cumple una regla de oro:

El descenso del líquido en el centro es igual al ascenso del líquido en las paredes respecto al nivel inicial en reposo ($h_0$).

Por tanto, la diferencia máxima de alturas entre el borde (radio $R$) y el centro es:

$$ \Delta z = \frac{\omega^2 R^2}{2g} $$