Flotación y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes

1. Flotación: El Principio de Arquímedes

Concepto:

La flotación es el fenómeno por el cual un fluido ejerce una fuerza vertical hacia arriba sobre cualquier cuerpo sumergido en él. Esta fuerza se conoce como Fuerza de Empuje ($F_E$) o fuerza de flotación.

El Principio de Arquímedes establece que: "Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza de empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado por el cuerpo".

Fórmula:

$$ F_E = \gamma_{fluido} \cdot V_{desalojado} = \rho_{fluido} \cdot g \cdot V_{desalojado} $$

Demostración (por fuerzas de presión):

Imaginemos un cilindro vertical de área transversal $A$ y altura $H$, sumergido completamente en un líquido.

1. La fuerza de presión en la cara superior (a una profundidad $h_1$) empuja hacia abajo: $F_1 = P_1 A = (\gamma h_1) A$.
2. La fuerza de presión en la cara inferior (a una profundidad $h_2$, donde $h_2 = h_1 + H$) empuja hacia arriba: $F_2 = P_2 A = (\gamma h_2) A$.
3. Las fuerzas laterales se anulan entre sí por simetría.
4. La fuerza neta vertical (Empuje) es la diferencia entre la fuerza inferior y la superior:
5. $$ F_E = F_2 - F_1 = \gamma A (h_2 - h_1) = \gamma A H $$
6. Dado que $A \cdot H$ es el volumen del cilindro ($V_{desalojado}$), llegamos a:
7. $$ F_E = \gamma \cdot V_{desalojado} $$

Condiciones de Flotación:

Sea $W$ el peso total del cuerpo.

• Si $W > F_E$ (Densidad del cuerpo > Densidad del fluido): El cuerpo se hunde.
• Si $W = F_E$ (Densidad del cuerpo = Densidad del fluido): El cuerpo tiene flotabilidad neutra y queda suspendido bajo el agua.
• Si $W < F_E$ (estando totalmente sumergido): El cuerpo asciende hasta que emerge parcialmente. Al emerger, el volumen desalojado disminuye hasta que se alcanza el equilibrio $W = F_{E\_parcial}$.

2. Flotación y Tipos de Estabilidad

Cuando un cuerpo está en equilibrio flotando ($W = F_E$), es crucial saber qué ocurre si una fuerza externa (viento, oleaje, un golpe) lo perturba ligeramente. Esto define su estabilidad, la cual se clasifica en tres tipos:

1. Estabilidad Estable: Si el cuerpo es perturbado y desplazado de su posición de equilibrio, se generan fuerzas o momentos restauradores que lo obligan a regresar a su posición original.
2. Estabilidad Inestable: Si el cuerpo es perturbado, las fuerzas generadas amplifican la perturbación, haciendo que el cuerpo se aleje aún más de su posición inicial (por ejemplo, volcando).
3. Estabilidad Neutra: Si el cuerpo es perturbado, no se generan fuerzas restauradoras ni amplificadoras; el cuerpo simplemente adopta y mantiene su nueva posición.

Para cuerpos completamente sumergidos (como un submarino), la estabilidad depende exclusivamente de la posición relativa del Centro de Gravedad (CG) y el Centro de Flotación o Carena (CB) (que es el centroide del volumen desplazado).

• Estable: CG está por debajo de CB. (El peso tira hacia abajo y el empuje hacia arriba, enderezando el submarino).
• Inestable: CG está por encima de CB.

3. Estabilidad de Volcamiento (Cuerpos Flotantes)

El caso más complejo y relevante para barcos es el de los cuerpos semisumergidos (flotantes). Aquí, el CG puede estar por encima del CB y el barco aún puede ser perfectamente estable. ¿Por qué? Porque al inclinarse (escorar), la forma del volumen sumergido cambia, y el Centro de Flotación (CB) se desplaza lateralmente.

Para analizar esto, introducimos el concepto de Metacentro (M).

El Metacentro y la Altura Metacéntrica

Cuando un barco se inclina un ángulo pequeño $\theta$, el Centro de Flotación se mueve de su posición original $CB_0$ a una nueva posición $CB_1$ (hacia el lado hundido).

Si trazamos una línea vertical hacia arriba desde el nuevo $CB_1$, esta línea intersectará el eje vertical original del barco en un punto llamado Metacentro (M).

La Altura Metacéntrica ($GM$) es la distancia vertical entre el Centro de Gravedad ($CG$) y el Metacentro ($M$). Es el indicador absoluto de la estabilidad al volcamiento:

• Estable ($GM > 0$): El Metacentro (M) está por encima del Centro de Gravedad (CG). El empuje actúa a lo largo de la vertical que pasa por M, y el peso actúa hacia abajo por CG. Esto crea un "par de fuerzas" que forma un momento restaurador, enderezando el barco.
• Inestable ($GM < 0$): El Metacentro (M) está por debajo del Centro de Gravedad (CG). El par de fuerzas genera un momento de vuelco, haciendo que el barco zozobre.
• Neutro ($GM = 0$): M coincide con CG.

Cálculo de la Altura Metacéntrica ($GM$)

Matemáticamente, la distancia desde el Centro de Flotación ($CB$) hasta el Metacentro ($M$) se conoce como Radio Metacéntrico ($BM$) y se calcula mediante:

$$ BM = \frac{I}{V_{desalojado}} $$

Donde:

• $I$ = Momento de inercia del área de la línea de flotación respecto a su eje longitudinal.
• $V_{desalojado}$ = Volumen de fluido desplazado por el casco.

Para encontrar la altura metacéntrica ($GM$), usamos la geometría del barco medida desde la quilla (K, el punto más bajo):

1. Calculamos la altura de CB desde la quilla: $KB$.
2. Calculamos la altura de M desde la quilla: $KM = KB + BM$.
3. Conocemos la altura de CG desde la quilla: $KG$.
4. Fórmula final de estabilidad:
5. $$ GM = KM - KG $$

Momento Restaurador:

Si el barco está estable y se escora un ángulo $\theta$, el momento que intenta adrizarlo (enderezarlo) es:

$$ Momento = W \cdot GM \cdot \sin(\theta) $$

(Donde $W$ es el peso total del barco).

Diagrama Interactivo: Estabilidad Metacéntrica

Para comprender verdaderamente cómo el Centro de Gravedad (CG) y el Centro de Flotación (CB) interactúan al inclinar una embarcación, he creado este simulador interactivo de una barcaza rectangular.

Puedes variar la altura de la carga (lo que sube o baja el Centro de Gravedad) y aplicar un ángulo de escora (inclinación) para ver cómo el Metacentro (M) determina si la embarcación es estable o corre el riesgo de volcar.