Estática de Fluidos: Conceptos, Deducciones y Herramientas Analíticas

1. Estudio de un Elemento Diferencial de Volumen de Fluido

Para entender cómo varía la presión dentro de un fluido en reposo, debemos aplicar la Segunda Ley de Newton ($\Sigma F = 0$) a un elemento de volumen infinitesimal.

Deducción y Análisis:

Imagina un cubo infinitesimal de fluido estático con dimensiones $dx, dy, dz$. Las fuerzas que actúan sobre este elemento son:

1. Fuerzas de superficie (Presión): Actúan perpendicularmente sobre cada una de las caras.
2. Fuerzas de cuerpo (Gravedad): El peso propio del fluido actúa hacia abajo (en la dirección $-z$).

Consideremos el eje vertical $z$ (positivo hacia arriba).

• La presión en el centro del elemento es $P$.
• La fuerza de presión en la cara inferior (empujando hacia arriba) es: $\left(P - \frac{\partial P}{\partial z} \frac{dz}{2}\right) dx dy$
• La fuerza de presión en la cara superior (empujando hacia abajo) es: $\left(P + \frac{\partial P}{\partial z} \frac{dz}{2}\right) dx dy$
• El peso del elemento es: $dW = \rho g (dx dy dz) = \gamma (dx dy dz)$

Haciendo la sumatoria de fuerzas en $z$ ($\Sigma F_z = 0$):

$$ \left(P - \frac{\partial P}{\partial z} \frac{dz}{2}\right) dx dy - \left(P + \frac{\partial P}{\partial z} \frac{dz}{2}\right) dx dy - \rho g dx dy dz = 0 $$

Al simplificar y dividir todo para el volumen diferencial ($dx dy dz$), obtenemos la Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos:

$$ \frac{\partial P}{\partial z} = -\rho g = -\gamma $$

(Nota: En los ejes horizontales $x$ e $y$, como no hay gravedad, $\frac{\partial P}{\partial x} = 0$ y $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$, demostrando que la presión solo varía con la profundidad).

2. Presión como Efecto del Campo Gravitacional

De la ecuación fundamental deducimos un concepto crucial: la presión en un fluido estático existe y varía debido exclusivamente a la acción de la gravedad. Si estuviéramos en el espacio exterior (gravedad cero), un fluido en un recipiente abierto no generaría un gradiente de presión interno por su propio peso.

El signo negativo en la ecuación $\frac{\partial P}{\partial z} = -\gamma$ indica que la presión disminuye a medida que nos movemos hacia arriba (dirección $z$ positiva) y aumenta a medida que nos movemos hacia abajo (profundidad).

3. Relación Presión-Altura (Fluidos Incompresibles)

Para líquidos, como el agua o el aceite, la densidad ($\rho$) se asume constante independientemente de la presión (incompresibles).

Integrando la ecuación fundamental entre dos puntos verticales $1$ y $2$ (donde $z_2 > z_1$):

$$ \int_{P_1}^{P_2} dP = -\gamma \int_{z_1}^{z_2} dz $$

$$ P_2 - P_1 = -\gamma (z_2 - z_1) $$

Si definimos $h$ como la profundidad medida desde la superficie libre (donde $z_2$ es la superficie y $z_1$ es el punto de interés, por lo que $h = z_2 - z_1$), y sabiendo que en la superficie abierta la presión es la atmosférica ($P_{atm}$), obtenemos la Ecuación de la Presión Hidrostática:

$$ P = P_{atm} + \gamma h $$

Esto demuestra la Paradoja Hidrostática: La presión en el fondo de un recipiente depende únicamente de la profundidad del fluido y de su peso específico, no de la forma del recipiente ni del volumen total del líquido.

4. Caso de Fluidos Compresibles: Gas Perfecto Isotérmico

Para los gases, la densidad ($\rho$) no es constante; varía significativamente con los cambios de presión y temperatura. Por lo tanto, no podemos sacar $\rho$ de la integral.

Consideremos un gas perfecto que obedece la ecuación de estado:

$$ P = \rho R T \implies \rho = \frac{P}{RT} $$

Sustituimos esta densidad variable en la ecuación diferencial de la hidrostática ($dP = -\rho g dz$):

$$ dP = -\left( \frac{P}{RT} \right) g dz $$

Separando variables para integrar entre un punto 1 (referencia, ej. nivel del mar) y un punto 2 (una altitud $z$):

$$ \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = -\frac{g}{R} \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz}{T} $$

Condición Isotérmica:

Si asumimos que la temperatura permanece constante ($T = cte$) en toda la columna de gas (un modelo simplificado de la atmósfera baja o en recipientes cerrados), la temperatura sale de la integral:

$$ \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{g}{RT} (z_2 - z_1) $$

Despejando $P_2$, obtenemos la Fórmula Barométrica para atmósfera isotérmica:

$$ P_2 = P_1 e^{-\frac{g(z_2 - z_1)}{RT}} $$

Esta ecuación demuestra que en un gas compresible isotérmico, la presión decae exponencialmente con la altura, a diferencia del decaimiento lineal de los líquidos.

5. Manometría

La manometría es la técnica y la ciencia de medir la presión de los fluidos basándose en los principios de la hidrostática. Utiliza columnas de líquido (fluidos manométricos) para equilibrar y medir presiones desconocidas.

Reglas de oro de la manometría:

1. En un fluido continuo en reposo, la presión es exactamente la misma en todos los puntos que se encuentran sobre el mismo plano horizontal.
2. Al recorrer un tubo manométrico:

• Si desciendes por la columna de fluido, la presión suma ($+\gamma h$).
• Si asciendes por la columna de fluido, la presión resta ($-\gamma h$).
• Saltar de una rama a otra al mismo nivel en el mismo fluido continuo no altera la ecuación.

Ecuación general de un tubo en U:

Si tenemos un recipiente a presión $P_A$ conectado a un tubo en U que contiene un líquido de peso específico $\gamma_m$, y el tubo está abierto a la atmósfera ($P_{atm} = 0$ manométrica) en el otro extremo con una deflexión de altura $h$:

$$ P_A + \gamma_{fluido\_interno} \cdot z - \gamma_{m} \cdot h = P_{atm} $$