Ecuaciones de Saint-venant: Flujo no permanente y no uniforme en canales abiertos

Suposiciones Fundamentales

Para derivar las ecuaciones de Saint-Venant, se asume lo siguiente:

1. El flujo es unidimensional (1D): La velocidad es uniforme en la sección transversal y el nivel del agua es horizontal transversalmente.
2. Las líneas de corriente son esencialmente rectas y paralelas (distribución de presiones hidrostática).
3. La pendiente del canal ($S_0$) es pequeña ($\cos\theta \approx 1$, $\sin\theta \approx S_0$).
4. La fricción del fluido se puede evaluar usando las fórmulas de flujo uniforme (Manning o Chézy).

1. Ecuación de Continuidad (Conservación de la Masa)

Concepto:

Consideramos un volumen de control (VC) diferencial de longitud $\Delta x$ en un canal. El flujo entra por la sección aguas arriba ($x$), sale por la sección aguas abajo ($x + \Delta x$), y puede existir un caudal lateral ($q$) que entra o sale del canal (por lluvia, vertederos laterales o filtraciones). $q$ tiene unidades de $[m^3/s \cdot m]$ (caudal por unidad de longitud).

Demostración:

Aplicamos el TTR para la masa ($\frac{\partial M_{vc}}{\partial t} + \sum \dot{m}_{sale} - \sum \dot{m}_{entra} = 0$). Asumiendo fluido incompresible ($\rho = cte$), la densidad se cancela:

1. Caudal que entra (aguas arriba): $Q$
2. Caudal que sale (aguas abajo): $Q + \frac{\partial Q}{\partial x} dx$
3. Caudal lateral que entra: $q \cdot dx$
4. Tasa de cambio de volumen en el VC: $\frac{\partial}{\partial t} (A \cdot dx) = \frac{\partial A}{\partial t} dx$ (Donde $A$ es el área de la sección transversal).

El balance queda:

$$ \frac{\partial A}{\partial t} dx + \left( Q + \frac{\partial Q}{\partial x} dx \right) - Q - q \cdot dx = 0 $$

Dividiendo todo para $dx$, obtenemos la Ecuación de Continuidad de Saint-Venant:

$$ \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = q $$

(Si el canal es prismático y de ancho $B$, el área $A = B \cdot y$, donde $y$ es el tirante de agua. La ecuación se puede reescribir como $B\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = q$).

2. Ecuación de la Cantidad de Movimiento Lineal

Esta es la aplicación de la Segunda Ley de Newton ($\sum F = \frac{dP}{dt}$) mediante el TTR al mismo volumen de control diferencial de longitud $dx$.

$$ \sum F_x = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho V dV + \int_{SC} \rho V (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Desglosaremos esta ecuación en sus tres componentes principales:

A. Tasa de cambio de cantidad de movimiento en el VC (Término Local)

Es la rapidez con la que el momentum aumenta o disminuye dentro del bloque de agua $dx$ a lo largo del tiempo (por ejemplo, si se abre una compuerta súbitamente).

• Masa del VC = $\rho A dx$
• Velocidad media = $V = Q/A$
• Término local = $\frac{\partial}{\partial t} (\rho \cdot A \cdot dx \cdot V) = \rho dx \frac{\partial}{\partial t}(A \cdot \frac{Q}{A}) = \rho dx \frac{\partial Q}{\partial t}$

B. Flujo neto a través del VC (Término Convectivo)

Es la diferencia entre el momentum que sale y el que entra al VC debido a cambios espaciales en la velocidad (por ejemplo, el canal se estrecha). Asumimos coeficiente de Boussinesq $\beta \approx 1$.

• Momentum que entra: $\rho Q V$
• Momentum que sale: $\rho Q V + \frac{\partial}{\partial x}(\rho Q V) dx$
• Momentum lateral (si $q$ entra perpendicularmente, su velocidad en $x$ es 0; si entra con velocidad $v_x$, aporta $\rho q v_x dx$). Asumiremos que el caudal lateral no aporta momentum en la dirección del flujo ($v_x = 0$).
• Flujo neto convectivo = $\frac{\partial}{\partial x}(\rho Q V) dx = \rho dx \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{Q^2}{A} \right)$

C. Fuerzas que actúan sobre el VC ($\sum F_x$)

Actúan tres fuerzas fundamentales en la dirección del flujo ($x$):

1. Fuerza de Presión Hidrostática ($F_P$): Empuje por la diferencia de profundidad de agua en $dx$.
2. $$ dF_P = -\rho g A \frac{\partial y}{\partial x} dx $$
3. Fuerza de Gravedad ($F_g$): El componente del peso del agua en la dirección de la pendiente del fondo ($S_0$).
4. $$ F_g = \text{Peso} \cdot \sin\theta \approx (\rho g A dx) S_0 $$
5. Fuerza de Fricción ($F_f$): Resistencia del lecho del canal, modelada con la pendiente de fricción ($S_f$).
6. $$ F_f = - (\rho g A dx) S_f $$

Sumando las fuerzas y reuniendo todos los términos (Término Local + Término Convectivo = $\sum F$), dividiendo para $\rho \cdot dx$, obtenemos la Ecuación Dinámica de Saint-Venant:

$$ \frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{Q^2}{A} \right) + gA \frac{\partial y}{\partial x} - gA(S_0 - S_f) = 0 $$

3. Aplicación: Desarrollo de la Ecuación para Flujo Espacialmente Variado (FEV)

El Flujo Espacialmente Variado es un caso particular donde el flujo es estacionario en el tiempo ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$), pero el caudal $Q$ cambia a lo largo de $x$ debido a la adición o extracción de caudal lateral $q$.

Ejemplos: Canales recolectores de aguas lluvias, aliviaderos laterales en presas, cunetas de carreteras.

Desarrollo de la Ecuación:

1. Si el flujo es estacionario, los términos locales desaparecen: $\frac{\partial Q}{\partial t} = 0$ y $\frac{\partial A}{\partial t} = 0$.
2. La ecuación de continuidad se reduce a: $\frac{dQ}{dx} = q$.
3. La ecuación de cantidad de movimiento pierde el primer término, y usamos derivadas totales ordinarias en lugar de parciales:
4. $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{Q^2}{A} \right) + gA \frac{dy}{dx} - gA(S_0 - S_f) = 0 $$
5. Aplicamos la regla de la cadena al término convectivo:
6. $$ \frac{d}{dx} \left( Q^2 A^{-1} \right) = \frac{2Q}{A} \frac{dQ}{dx} - \frac{Q^2}{A^2} \frac{dA}{dx} $$
7. Sabemos que $\frac{dQ}{dx} = q$. Además, para un canal prismático, el cambio de área transversal respecto a $x$ depende solo del cambio de tirante ($y$): $\frac{dA}{dx} = B \frac{dy}{dx}$ (donde $B$ es el ancho superficial).
8. Sustituyendo:
9. $$ \frac{2Q q}{A} - \frac{Q^2 B}{A^2} \frac{dy}{dx} + gA \frac{dy}{dx} - gA(S_0 - S_f) = 0 $$
10. Dividimos todo para $gA$ e identificamos el Número de Froude al cuadrado ($Fr^2 = \frac{Q^2 B}{g A^3}$):
11. $$ \frac{2Q q}{gA^2} - Fr^2 \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = S_0 - S_f $$
12. Despejamos la variación del tirante respecto a la distancia ($\frac{dy}{dx}$):

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{S_0 - S_f - \frac{2Q q}{g A^2}}{1 - Fr^2} $$

Esta es la Ecuación Dinámica para Flujo Espacialmente Variado con caudal de adición.

Análisis Físico: El término $-\frac{2Q q}{g A^2}$ es crucial. Representa el "costo" en altura geométrica (energía/momentum) necesario para acelerar la masa de agua muerta (caudal lateral $q$) hasta que alcance la velocidad del canal principal $V$. Debido a esto, el perfil de agua en un canal que recibe aporte lateral siempre se eleva drásticamente hacia aguas abajo.