Dinámica de fluidos: Teorema de transporte de reynolds y Ecuaciones Integrales

1. Teorema de Transporte de Reynolds: Ecuación General

El TTR relaciona la rapidez de cambio de cualquier propiedad extensiva $B$ (como masa, momento o energía) de un sistema cerrado con lo que ocurre dentro y en las fronteras de un Volumen de Control (VC).

Definimos $b$ como la propiedad intensiva correspondiente por unidad de masa ($b = B/m$). La ecuación general del TTR es:

$$ \frac{dB_{sis}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho b dV + \int_{SC} \rho b (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Significado de los términos:

1. $\frac{dB_{sis}}{dt}$: Tasa de cambio de la propiedad en el sistema (masa fija).
2. $\frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho b dV$: Término local o de acumulación. Representa la rapidez con la que la propiedad aumenta o disminuye dentro del volumen de control.
3. $\int_{SC} \rho b (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA$: Término convectivo o de flujo neto. Representa la cantidad neta de la propiedad que sale cruzando la Superficie de Control (SC). El producto punto $\vec{V} \cdot \vec{n}$ asegura que solo se considere la velocidad perpendicular a la superficie.

2. Conservación de la Masa (Ecuación de Continuidad)

Para aplicar el TTR a la masa, definimos:

• Propiedad extensiva: $B = m$ (masa total).
• Propiedad intensiva: $b = m/m = 1$.
• Ley física: La masa de un sistema cerrado no cambia en el tiempo ($\frac{dm_{sis}}{dt} = 0$).

Sustituyendo en el TTR, obtenemos la Ecuación de Continuidad:

$$ 0 = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho dV + \int_{SC} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Demostración para flujo estacionario e incompresible en una tubería:

Si el flujo es estacionario, la derivada temporal es cero. Si es incompresible, la densidad $\rho$ es constante y sale de la integral. Si hay una entrada (1) y una salida (2), la integral de superficie se evalúa como:

$$ - \rho A_1 V_1 + \rho A_2 V_2 = 0 \implies Q_1 = Q_2 $$

(Donde el caudal $Q = V \cdot A$ se conserva).

3. Ecuación de la Cantidad de Movimiento Lineal

Para la cantidad de movimiento (momento lineal), definimos:

• Propiedad extensiva: $B = m\vec{V}$.
• Propiedad intensiva: $b = \vec{V}$.
• Ley física (Segunda Ley de Newton): $\frac{d(m\vec{V})_{sis}}{dt} = \sum \vec{F}$ (La tasa de cambio del momento es igual a la suma de las fuerzas externas).

Sustituyendo en el TTR:

$$ \sum \vec{F} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho \vec{V} dV + \int_{SC} \rho \vec{V} (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Estas fuerzas externas $\sum \vec{F}$ incluyen fuerzas de cuerpo (gravedad) y fuerzas de superficie (presión, reacciones de anclajes, fricción).

Valores para el Coeficiente de Boussinesq ($\beta$)

En ingeniería práctica, en lugar de integrar el intrincado perfil de velocidades real en una tubería $\int_{A} \rho v^2 dA$, usamos una velocidad promedio ($V_{prom}$). Sin embargo, debido a que el momento depende del cuadrado de la velocidad, calcularlo con el promedio introduce un error.

Para corregirlo, se introduce el Coeficiente de Corrección del Momento de Boussinesq ($\beta$):

$$ \int_{A} \rho v^2 dA = \beta \cdot \dot{m} V_{prom} $$

$$ \beta = \frac{1}{A} \int_{A} \left( \frac{v}{V_{prom}} \right)^2 dA $$

Valores típicos de $\beta$:

• Flujo Uniforme (Ideal): $\beta = 1.0$ (La velocidad es idéntica en toda la sección).
• Flujo Laminar (Perfil parabólico): $\beta = 4/3 \approx 1.33$
• Flujo Turbulento: $\beta$ varía entre $1.01$ y $1.04$. Como está tan cerca de 1, en cálculos prácticos turbulentos a menudo se asume $\beta = 1$.

4. Ecuación de Momentum Angular (Momento de la Cantidad de Movimiento)

Aplicable principalmente a turbomaquinaria (bombas, turbinas, ventiladores).

• Propiedad extensiva: $B = \vec{r} \times m\vec{V}$ (Momento angular).
• Propiedad intensiva: $b = \vec{r} \times \vec{V}$.
• Ley física: $\frac{dB_{sis}}{dt} = \sum \vec{M}$ (La suma de momentos/torques aplicados es igual a la tasa de cambio del momento angular).

Sustituyendo en el TTR:

$$ \sum \vec{M} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho (\vec{r} \times \vec{V}) dV + \int_{SC} \rho (\vec{r} \times \vec{V}) (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

5. Ecuación de la Energía (Primera Ley de la Termodinámica)

• Propiedad extensiva: $B = E$ (Energía total = Interna + Cinética + Potencial).
• Propiedad intensiva: $b = e = u + \frac{1}{2}v^2 + gz$.
• Ley física: $\frac{dE_{sis}}{dt} = \dot{Q}_{neto} - \dot{W}_{neto}$ (Calor neto añadido menos trabajo neto realizado).

Sustituyendo en el TTR y separando el trabajo de flujo ($W_{flujo} = P/\rho$, que es el trabajo necesario para empujar el fluido a través de las fronteras), obtenemos la Ecuación de la Energía:

$$ \dot{Q} - \dot{W}_{eje} - \dot{W}_{viscoso} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho e dV + \int_{SC} \rho \left( u + \frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz \right) (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

(Nota: $u + P/\rho$ se define termodinámicamente como la Entalpía $h$).

Valores para el Coeficiente de Distribución de Velocidades o Energía Cinética ($\alpha$)

Similar al momento lineal, el flujo de energía cinética a través de una sección es proporcional a la velocidad al cubo ($\int \rho \frac{v^2}{2} v dA$). Al usar la velocidad promedio $V_{prom}$ en la ecuación de energía (Ecuación de Bernoulli extendida), debemos aplicar el factor de corrección de Coriolis o Coeficiente de Energía Cinética ($\alpha$):

$$ \int_{A} \rho \frac{v^3}{2} dA = \alpha \cdot \dot{m} \frac{V_{prom}^2}{2} $$

$$ \alpha = \frac{1}{A} \int_{A} \left( \frac{v}{V_{prom}} \right)^3 dA $$

Valores típicos de $\alpha$:

• Flujo Uniforme (Ideal): $\alpha = 1.0$
• Flujo Laminar (Perfil parabólico): $\alpha = 2.0$ (El flujo real de energía es el doble del calculado con la velocidad promedio).
• Flujo Turbulento: El perfil es mucho más plano. $\alpha$ varía entre $1.04$ y $1.11$. (Normalmente se usa $\alpha \approx 1.05$ o se desprecia asumiendo $1.0$).

Diagrama Interactivo: Perfiles de Velocidad y Coeficientes ($\alpha$ y $\beta$)

Para comprender visualmente por qué los coeficientes de Boussinesq ($\beta$) y de Energía ($\alpha$) cambian drásticamente entre regímenes, he creado un simulador. Puedes alterar el perfil de velocidades en la tubería y observar cómo las integrales de $v^2$ y $v^3$ afectan los valores finales.