Dinámica de fluidos: Energía, Trabajo, Pérdidas y Turbomaquinaria

1. Reversibilidad, Irreversibilidad y Pérdidas

Concepto:

En la física ideal, un proceso es reversible si puede regresar a su estado original sin dejar ningún rastro o cambio neto en el universo (conservación perfecta de la energía mecánica). Sin embargo, todos los flujos de fluidos reales son irreversibles.

Las irreversibilidades en mecánica de fluidos se deben principalmente a:

1. Fricción viscosa: El roce del fluido contra las paredes sólidas y entre sus propias capas.
2. Turbulencia: La formación de remolinos disipa la energía cinética macroscópica en energía interna (calor) a nivel molecular.

Pérdidas de Energía ($h_L$):

Esta energía mecánica disipada (que no se puede recuperar para realizar trabajo útil) se denomina "pérdida de carga". Se divide en:

• Pérdidas mayores ($h_f$): Fricción a lo largo de tramos rectos de tubería (calculadas con la ecuación de Darcy-Weisbach).
• Pérdidas menores ($h_m$): Fricción localizada en codos, válvulas, expansiones y contracciones.

2. La Ecuación de Bernoulli (Flujo Ideal)

La ecuación de Bernoulli es la expresión de la conservación de la energía mecánica para un flujo ideal a lo largo de una línea de corriente.

Suposiciones (Restricciones):

1. Flujo incompresible ($\rho = cte$).
2. Flujo estacionario ($\partial/\partial t = 0$).
3. Flujo no viscoso (sin fricción, reversible).
4. Ninguna máquina aporta o extrae trabajo.

Fórmula:

$$ \frac{P_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 = Cte $$

Donde cada término tiene unidades de longitud (metros) y representa una forma de energía o "carga" (head):

• $\frac{P}{\gamma}$: Carga de presión (Energía de flujo).
• $\frac{v^2}{2g}$: Carga de velocidad (Energía cinética).
• $z$: Carga de elevación (Energía potencial gravitatoria).

3. Ecuación de la Energía para Flujo Permanente con Pérdidas (Bernoulli Extendido)

Para aplicar la física a sistemas reales, eliminamos las restricciones de Bernoulli añadiendo términos que contabilicen la fricción y la interacción con máquinas rotativas (bombas y turbinas).

Aplicando la Primera Ley de la Termodinámica a un volumen de control, obtenemos la Ecuación General de la Energía:

$$ \frac{P_1}{\gamma} + \alpha_1\frac{v_1^2}{2g} + z_1 + h_A - h_R - h_L = \frac{P_2}{\gamma} + \alpha_2\frac{v_2^2}{2g} + z_2 $$

Significado de los nuevos términos:

• $h_A$: Energía agregada al fluido mediante una máquina motora (Bomba).
• $h_R$: Energía extraída del fluido mediante una máquina receptora (Turbina).
• $h_L$: Pérdidas de carga totales por fricción y accesorios.
• $\alpha$: Coeficiente de corrección de energía cinética (visto en secciones anteriores; usualmente $\approx 1$ para flujo turbulento).

(Nota: Esta ecuación siempre se plantea en la dirección del flujo, de 1 hacia 2).

4. Línea de Nivel Energético y Línea de Altura Motriz

Para visualizar qué le ocurre a la energía a lo largo de una red de tuberías, los ingenieros trazan dos perfiles gráficos fundamentales:

1. Línea de Energía Total (EGL - Energy Grade Line):
2. Representa la energía mecánica total del sistema.
3. $$ EGL = \frac{P}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z $$

• Comportamiento: Siempre tiene pendiente negativa (cae) en dirección del flujo debido a las pérdidas $h_L$. Da un "salto" hacia arriba si hay una bomba ($+h_A$) y un salto drástico hacia abajo si hay una turbina ($-h_R$).

1. Línea Piezométrica o de Altura Motriz (HGL - Hydraulic Grade Line):
2. Representa la altura a la que subiría el líquido si se insertara un tubo piezométrico (sin considerar la energía cinética).
3. $$ HGL = \frac{P}{\gamma} + z $$

• Comportamiento: Siempre está por debajo de la EGL por una distancia exactamente igual a la carga de velocidad ($\frac{v^2}{2g}$). Si la tubería cambia de diámetro, la HGL puede subir o bajar independientemente de las pérdidas.

5. Energía, Potencia, Trabajo e Irreversibilidades en Maquinaria

El cambio de energía de carga ($h_A$ o $h_R$) se relaciona directamente con la potencia mecánica mediante el flujo másico y la eficiencia de la máquina.

Potencia y Eficiencia en Bombas:

La bomba transfiere energía mecánica del eje al fluido. Debido a las irreversibilidades mecánicas (fricción de cojinetes) y fluidodinámicas (recirculación, choques), la energía eléctrica/mecánica que le damos a la bomba es mayor que la que recibe el fluido.

• Potencia ganada por el fluido: $\dot{W}_{fluido} = \gamma \cdot Q \cdot h_A$
• Potencia mecánica en el eje requerida: $\dot{W}_{eje} = \frac{\gamma \cdot Q \cdot h_A}{\eta_b}$
• (Donde $\eta_b$ es la eficiencia de la bomba, un número menor a 1).

Potencia y Eficiencia en Turbinas:

La turbina extrae energía del fluido para generar movimiento rotativo. Las irreversibilidades hacen que la potencia que llega al generador sea menor que la energía cedida por el fluido.

• Potencia cedida por el fluido: $\dot{W}_{fluido} = \gamma \cdot Q \cdot h_R$
• Potencia útil en el eje producida: $\dot{W}_{eje} = \eta_t \cdot \gamma \cdot Q \cdot h_R$

6. Teoría de Álabes para Aplicaciones en Turbomaquinaria

La "magia" de las bombas y turbinas ocurre en sus rodetes y álabes (cucharas o aspas). La transferencia de energía ($h_A$ o $h_R$) se basa en el cambio de la cantidad de movimiento del fluido al chocar contra estos álabes.

Para analizar esto, aplicamos la Ecuación del Momento Lineal a un Volumen de Control en movimiento (como vimos en la lección anterior).

Potencia y Torque en Álabes Móviles

Consideremos una rueda Pelton (turbina de impulso). Un chorro de agua a velocidad absoluta $V_j$ golpea un álabe que se mueve a una velocidad tangencial $V_c$. El álabe desvía el chorro un ángulo $\theta$ (idealmente cerca de 180°).

1. Análisis de Velocidades Relativas:

El fluido choca contra el álabe no a velocidad $V_j$, sino a la velocidad relativa:

$$ W_{in} = V_j - V_c $$

El flujo másico efectivo que golpea al álabe es $\dot{m} = \rho \cdot A \cdot (V_j - V_c)$, donde $A$ es el área del chorro.

2. Fuerza de Empuje ($F_x$):

El álabe desvía el chorro. La componente x (en la dirección del movimiento) de la velocidad relativa a la salida es $W_{out,x} = -(V_j - V_c)\cos\theta$.

Aplicando la ecuación de momento lineal:

$$ F_x = \dot{m} \cdot (W_{in,x} - W_{out,x}) $$

$$ F_x = \rho \cdot A \cdot (V_j - V_c) \left[ (V_j - V_c) - (-(V_j - V_c)\cos\theta) \right] $$

$$ F_x = \rho \cdot A \cdot (V_j - V_c)^2 \cdot (1 + \cos\theta) $$

3. Potencia Mecánica ($\dot{W}$):

La potencia desarrollada es la fuerza multiplicada por la velocidad del álabe ($P = F \cdot V$):

$$ \dot{W} = F_x \cdot V_c = \rho \cdot A \cdot (V_j - V_c)^2 \cdot V_c \cdot (1 + \cos\theta) $$

4. Optimización (El secreto de la turbina Pelton):

¿A qué velocidad debe girar la rueda ($V_c$) para extraer la máxima potencia del agua?

Para encontrar el máximo, derivamos la potencia respecto a $V_c$ y la igualamos a cero:

$$ \frac{d\dot{W}}{dV_c} = \frac{d}{dV_c} \left[ (V_j - V_c)^2 \cdot V_c \right] = 0 $$

$$ (V_j - V_c)^2 - 2V_c(V_j - V_c) = 0 $$

$$ V_j - V_c - 2V_c = 0 \implies V_j = 3V_c \implies V_c = \frac{V_j}{3} $$

(Nota: Para una serie continua de álabes en una rueda cerrada, la matemática muestra que la potencia óptima se da cuando la velocidad periférica de la rueda es exactamente la mitad de la velocidad del chorro: $V_c = V_j / 2$).

5. Torque ($T$):

El momento de torsión generado en el eje de la máquina es simplemente la fuerza tangencial multiplicada por el radio de la rueda ($r$):

$$ T = F_x \cdot r $$