Dinámica de fluidos: Ecuaciones integrales, leyes básicas y flujo

1. Introducción: El Enfoque Integral

En mecánica clásica (sólidos), aplicamos las leyes de Newton a un "Sistema": una masa fija e identificable de materia.

En fluidos, seguir un sistema es impráctico porque la materia se deforma y se mezcla continuamente. Por ello, adoptamos el Enfoque de Volumen de Control (Euleriano).

• Volumen de Control (VC): Es una región tridimensional del espacio elegida para el estudio. Puede ser el interior de un tramo de tubería, el interior de una bomba o una región alrededor de un avión.
• Superficie de Control (SC): Es la frontera cerrada (real o imaginaria) que delimita el Volumen de Control. El fluido, la masa y la energía pueden atravesar esta superficie.

Para aplicar las leyes de la física a un Volumen de Control, utilizamos Ecuaciones Integrales. Estas ecuaciones evalúan lo que ocurre dentro del volumen (integrales de volumen) y lo que atraviesa sus fronteras (integrales de superficie).

2. Leyes Básicas para el Estudio de Flujo de Fluidos

Las ecuaciones gobernantes de la dinámica de fluidos son la traducción de tres principios fundamentales de conservación de la naturaleza aplicados a un Volumen de Control, mediante el Teorema de Transporte de Reynolds:

1. Conservación de la Masa (Ecuación de Continuidad):
2. Establece que la masa no se crea ni se destruye. La rapidez con la que la masa entra al VC menos la rapidez con la que sale, es igual a la rapidez con la que se acumula o agota la masa dentro del VC.
3. $$ \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho dV + \int_{SC} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA = 0 $$
4. Conservación de la Cantidad de Movimiento (Segunda Ley de Newton):
5. Establece que la fuerza neta que actúa sobre el VC es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento dentro del VC más el flujo neto de cantidad de movimiento que cruza la SC.
6. $$ \sum \vec{F} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \vec{V} \rho dV + \int_{SC} \vec{V} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$
7. Conservación de la Energía (Primera Ley de la Termodinámica):
8. Establece que la tasa de calor agregado al VC menos la tasa de trabajo realizado por el VC es igual a la tasa de cambio de energía total dentro del VC más el flujo neto de energía que cruza la SC.
9. $$ \dot{Q} - \dot{W} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} e \rho dV + \int_{SC} \left( e + \frac{P}{\rho} \right) \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

3. Flujo Volumétrico y Flujo Másico

Para resolver las integrales de superficie en las ecuaciones anteriores, debemos comprender perfectamente cómo medir la cantidad de fluido que atraviesa una frontera.

Conceptos y Vectores

Consideremos un elemento diferencial de área ($dA$) en la Superficie de Control.

• Definimos un vector normal unitario ($\vec{n}$) que es siempre perpendicular a $dA$ y apunta hacia afuera del volumen de control.
• El fluido atraviesa esta área con un vector de velocidad $\vec{V}$.

La velocidad $\vec{V}$ puede no ser paralela a $\vec{n}$ (es decir, el fluido puede entrar de lado). Solo la componente de la velocidad perpendicular al área contribuye a cruzarla. Esta componente se encuentra usando el producto punto: $\vec{V} \cdot \vec{n} = V \cos \theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la velocidad y el vector normal.

Flujo Volumétrico o Caudal ($Q$)

Es el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo (unidades: $m^3/s$).

Demostración geométrica:

En un intervalo de tiempo $dt$, las partículas de fluido que estaban en la superficie $dA$ se mueven una distancia $dL = V \cdot dt$ a lo largo de su vector velocidad.

El volumen de fluido ($dV$) que atravesó el área forma un prisma inclinado.

• La base del prisma es $dA$.
• La altura perpendicular del prisma es $dL \cos \theta = V \cos \theta dt$.
• Volumen: $dV = dA (V \cos \theta dt) = (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA dt$.

El flujo volumétrico diferencial es $dQ = dV/dt = (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA$.

Integrando sobre toda el área $A$, obtenemos la ecuación general:

$$ Q = \int_{A} (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Caso Especial Común (Velocidad uniforme y perpendicular):

Si la velocidad es constante en toda la sección transversal y el flujo es perpendicular al área ($\vec{V} \parallel \vec{n}$, por lo que $\cos 0^\circ = 1$), la integral se simplifica a su forma algebraica:

$$ Q = V \cdot A $$

Flujo Másico ($\dot{m}$)

Es la masa de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo (unidades: $kg/s$).

Dado que masa es densidad por volumen ($m = \rho V$), el flujo másico es simplemente la densidad del fluido multiplicada por el flujo volumétrico en cada punto.

La ecuación integral general es:

$$ \dot{m} = \int_{A} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA $$

Caso Especial Común (Densidad y velocidad uniformes):

$$ \dot{m} = \rho \cdot V \cdot A $$

Aplicación Práctica: Ecuación de Continuidad en Tuberías

Si asumimos un flujo estacionario ($\partial / \partial t = 0$), la masa que entra a una tubería debe ser exactamente igual a la masa que sale: $\dot{m}_{entrada} = \dot{m}_{salida}$.

Si el fluido es incompresible (líquidos como el agua, donde $\rho$ es constante), las densidades se cancelan, resultando en la conservación del flujo volumétrico:

$$ Q_{entrada} = Q_{salida} $$

$$ A_1 \cdot V_1 = A_2 \cdot V_2 $$

Esta relación demuestra que si el área de una tubería se reduce, la velocidad del fluido debe aumentar obligatoriamente para mantener el caudal constante, un principio fundamental para tuberías a presión, canales y aerodinámica.