Análisis de circuitos eléctricos: Fundamentos, Métodos, Teoremas y Transformada de Laplaca

Esta es una consulta extensa que abarca los fundamentos completos del Análisis de Circuitos Eléctricos. A continuación, desglosaremos cada tema con sus respectivas demostraciones, fórmulas y metodologías, estructurado de manera lógica desde los conceptos básicos hasta el análisis avanzado con Transformadas de Laplace.

1. Métodos de Análisis Clásico

Análisis de Mallas

Se basa en la Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK), la cual establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje en un lazo cerrado es cero ($\sum V = 0$). Es ideal para circuitos planos (que se pueden dibujar sin que los cables se crucen).

• Aplicación: Se asigna una corriente de malla (ficticia) a cada lazo cerrado independiente del circuito, generalmente en sentido horario.
• Fórmula (Ley de Ohm generalizada): Para una malla $k$, la ecuación es:
• $$ \sum (R \cdot I) = \sum V_{fuentes} $$
• Procedimiento:

1. Identificar todas las mallas ($M_1, M_2, \dots$).
2. Asignar corrientes $i_1, i_2, \dots$ a cada malla.
3. Plantear la LVK para cada malla. Si una resistencia es compartida por dos mallas, la corriente que la atraviesa es la diferencia de ambas (ej. $R(i_1 - i_2)$).
4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante.

Análisis de Nodos

Se basa en la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK), que establece que la suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen ($\sum I_{entra} = \sum I_{sale}$).

• Aplicación: Se asigna un voltaje a cada nodo principal respecto a un nodo de referencia (Tierra, $0\text{V}$).
• Fórmula: Expresando las corrientes en función de los voltajes de nodo usando $I = \frac{V_a - V_b}{R}$:
• $$ \sum \left( \frac{V_{nodo} - V_{adyacente}}{R} \right) = \sum I_{fuentes} $$
• Procedimiento:

1. Elegir un nodo de referencia ($0\text{V}$).
2. Asignar variables de voltaje ($V_1, V_2, \dots$) a los nodos restantes.
3. Aplicar LCK en cada nodo (asumiendo que todas las corrientes salen del nodo).
4. Resolver el sistema de ecuaciones.

2. Teoremas de Redes

Teorema de Thevenin

Establece que cualquier circuito lineal complejo de dos terminales puede ser reemplazado por un circuito equivalente más simple que consta de una fuente de voltaje en serie con una resistencia (o impedancia).

• $V_{th}$ (Voltaje de Thevenin): Es el voltaje de circuito abierto en las terminales de interés.
• $R_{th}$ (Resistencia de Thevenin): Es la resistencia equivalente vista desde las terminales cuando todas las fuentes independientes se apagan (las de voltaje se cortocircuitan y las de corriente se abren).

Teorema de Norton

Similar a Thevenin, pero reduce el circuito a una fuente de corriente en paralelo con una resistencia.

• $I_{N}$ (Corriente de Norton): Es la corriente de cortocircuito entre las terminales de interés.
• $R_{N}$: Es exactamente igual a la $R_{th}$ de Thevenin. (Nota: $V_{th} = I_N \cdot R_{th}$).

Teorema de "Kelening"

(Nota: Es probable que te refieras al Teorema de Tellegen o al Teorema de Kennelly).

• Teorema de Tellegen: Establece la conservación de la energía en un circuito. La suma de las potencias de todas las ramas es cero: $\sum_{k=1}^{n} V_k I_k = 0$.
• Teorema de Kennelly (Transformación Estrella-Delta $\Delta$-Y): Permite simplificar circuitos donde las resistencias no están ni en serie ni en paralelo, transformando una configuración en "Y" (estrella) a una en "$\Delta$" (triángulo), o viceversa, mediante fórmulas de equivalencia geométrica.

3. Circuitos de Primer y Segundo Orden

Circuitos RC y RL (Primer Orden)

Solo tienen un elemento almacenador de energía. Su comportamiento dinámico se rige por ecuaciones diferenciales de primer orden.

• Circuito RC: Almacena energía en un campo eléctrico. Su constante de tiempo es $\tau = RC$.
• Ecuación de descarga: $v_C(t) = V_0 e^{-t/\tau}$
• Circuito RL: Almacena energía en un campo magnético. Su constante de tiempo es $\tau = \frac{L}{R}$.
• Ecuación de descarga: $i_L(t) = I_0 e^{-t/\tau}$

Circuitos RLC (Segundo Orden) y Modelado en Ecuación Diferencial

Tienen resistores, inductores y capacitores. Analicemos un circuito RLC en serie excitado por una fuente de voltaje $v_s(t)$.

1. Modelado:

Aplicando LVK en el lazo cerrado:

$$ v_R(t) + v_L(t) + v_C(t) = v_s(t) $$

Sustituyendo las relaciones de cada elemento ($v_R = R i$, $v_L = L \frac{di}{dt}$, $i = C \frac{dv_C}{dt}$):

$$ R \left(C \frac{dv_C}{dt}\right) + L \frac{d}{dt}\left(C \frac{dv_C}{dt}\right) + v_C(t) = v_s(t) $$

Reordenando, obtenemos la ecuación diferencial lineal de segundo orden:

$$ LC \frac{d^2v_C}{dt^2} + RC \frac{dv_C}{dt} + v_C = v_s(t) $$

Dividiendo todo para $LC$:

$$ \frac{d^2v_C}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{LC} v_C = \frac{v_s(t)}{LC} $$

2. Parámetros de Amortiguamiento:

Para resolver la ecuación homogénea (cuando $v_s = 0$), proponemos una solución $v_C = A e^{st}$. Al sustituir, obtenemos la ecuación característica:

$$ s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0 $$

Definimos dos parámetros clave:

• Frecuencia resonante de Neper (Factor de atenuación): $\alpha = \frac{R}{2L}$
• Frecuencia angular de resonancia (no amortiguada): $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

La ecuación característica queda como: $s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0$.

Las raíces son: $s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$.

Dependiendo de la relación entre $\alpha$ y $\omega_0$, existen tres casos de amortiguamiento:

1. Sobreamortiguado ($\alpha > \omega_0$): Las raíces son reales y distintas. El sistema responde lentamente, sin oscilar.
2. $$ v_C(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} $$
3. Críticamente Amortiguado ($\alpha = \omega_0$): Las raíces son reales e iguales ($s_1 = s_2 = -\alpha$). El sistema vuelve al equilibrio lo más rápido posible sin oscilar.
4. $$ v_C(t) = (A_1 + A_2 t) e^{-\alpha t} $$
5. Subamortiguado ($\alpha < \omega_0$): Las raíces son complejas conjugadas. El sistema experimenta una respuesta oscilatoria que decae con el tiempo. (Es el caso más común en la práctica).
6. $$ v_C(t) = e^{-\alpha t} (B_1 \cos(\omega_d t) + B_2 \sin(\omega_d t)) $$
7. (donde $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$ es la frecuencia amortiguada).

4. La Transformada de Laplace en Circuitos

Resolver ecuaciones diferenciales complejas en el dominio del tiempo es tedioso. La Transformada de Laplace $\mathcal{L}$ convierte el cálculo diferencial e integral en álgebra simple mediante el dominio de frecuencia compleja $s$.

¿Cómo utilizar Laplace para resolver la Ecuación Diferencial?

Dada la ecuación $L \frac{d^2i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0$, aplicamos la propiedad de derivación $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$:

$$ L[s^2 I(s) - s i(0) - i'(0)] + R[s I(s) - i(0)] + \frac{1}{C} I(s) = 0 $$

Despejas algebraicamente $I(s)$ y luego aplicas fracciones parciales y la transformada inversa $\mathcal{L}^{-1}$ para regresar al dominio del tiempo y obtener $i(t)$.

El Método Directo: Pasar el Circuito al Dominio de Laplace

En lugar de plantear la ecuación diferencial, es mucho más fácil transformar cada componente del circuito directamente al dominio $s$ y luego analizarlo como si fuera un circuito resistivo simple (usando Mallas o Nodos).

Las transformaciones de impedancia $Z(s)$ (asumiendo condiciones iniciales nulas) son:

• Resistor: Su impedancia no cambia. $Z_R(s) = R$
• Inductor: La derivada $L \frac{di}{dt}$ se convierte en multiplicación por $s$. $Z_L(s) = sL$
• Capacitor: La integral $\frac{1}{C} \int i dt$ se convierte en división por $s$. $Z_C(s) = \frac{1}{sC}$
• Fuentes de Voltaje: Un escalón unitario de voltaje constante $V$ se convierte en $V(s) = \frac{V}{s}$.

Procedimiento de aplicación:

1. Redibujar el circuito reemplazando cada $R, L, C$ por sus impedancias $Z(s)$ ($R, sL, \frac{1}{sC}$).
2. Convertir las fuentes al dominio $s$ (ej. una batería de $10\text{V}$ pasa a ser $\frac{10}{s}$).
3. Aplicar Análisis de Mallas, Nodos, Thevenin o división de tensión en el dominio $s$. Todo se trata como si fueran simples resistencias.
4. Obtener la función de transferencia, por ejemplo, $V_C(s) = \dots$
5. Aplicar expansión de fracciones parciales y la Transformada Inversa de Laplace para obtener $v_C(t)$.